- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома нерерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
Число e.
«Существует ли предел последовательности , и если существует, то чему равен этот предел»? Для того, чтобы дать ответ нам этот вопрос понадобится следующая лемма:
Лемма 1. Для любого и любого справедливо неравенство (1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем его по индукции. При n = 1 неравенство (1), очевидно, выполняется как равенство (вообще при любом ). Предположим, что оно справедливо при n = k, т.е. предположим, что . Тогда , т.е. оно справедливо и при n = k + 1. Таким образом, в соответствии с методом математической индукции неравенство (1) верно .
Замечание 1. Обратите внимание на то, где мы при доказательстве воспользовались условием, что .
Лемма 2. Существует предел .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала последовательность , Используя неравенство Бернулли, при будем иметь:
Таким образом, и следовательно , то есть последовательность - убывающая.
Кроме того, очевидно, что последовательность положительная . Следовательно, она ограничена снизу. Поэтому существует предел Возвращаясь к интересующей нас последовательности , , видим, что . Поскольку существуют пределы: и , то по теореме о пределе произведения последовательностей существует и предел т.е. предел ■
Замечание 2. Этот предел обозначают буквой e и называют числом e. Можно доказать, что число e иррациональное. В настоящее время оно вычислено с большей степени точности в частности, в пределах первых пятнадцати знаков после запятой
e = 2,718281828459045…
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .
Замечание 1. Очевидно, что если , то , (т.е. - б. м. последовательность) при этом .
Наоборот, если имеет место это равенство и - б. м. последовательность, то .
Таким образом, последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она равна сумме постоянной и бесконечно малой последовательностей.
Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
Определение 2. Если для любого вещественного числа E N: xn > E n > N (соотв., xn < E n > N ), то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .
Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ употребляется без знака).
Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то - бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.
Замечание 2. Последовательности, имеющие своим пределом + или - мы не относим к сходящимся, то есть они считаются расходящимися. Таким образом, можно сказать, что сходящиеся последовательности – это такие последовательности, которые имеют конечный предел.
Замечание 3. Последовательности, имеющие пределы + или -, очевидно, являются бесконечно большими. Однако не всякая бесконечно большая последовательность имеет предел равный + или -. Например, последовательность очевидно является бесконечно большой ( ), но она не имеет ни конечного, ни какого-то бесконечного () предела.