БИЛЕТ 1. МАТРИЦА.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк);
умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр).
Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Матрица представляет собой матрицу некоторого линейного оператора: свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числаматрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная(нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
ДЕЙСТВИЯ НАД МАРИЦЕЙ.
умножение матрицы на число
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
Свойства умножения матриц на число
1. 1*A = A;
2. (Λβ)A = Λ(βA)
3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Сложение матриц
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
Свойства сложения матриц
5.коммутативность;
6.ассоциативность;
7.сложение с нулевой матрицей;
8.существование противоположной матрицы;
Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .
Свойства умножения матриц
1.ассоциативность;
2.произведение не коммутативно;
3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;
4.справедливость дистрибутивного закона;
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
Комплексное сопряжение
Если элементами матрицы A = (aij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к a.
Транспонирование и эрмитово сопряжение
Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (aij), то AT = (aji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитовапроизведения, соответственно.
ОПрЕДЕЛИТЕЛЬ МАтриЦ И ИХ СВОЙСТВА.
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).
Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:
БИЛЕТ 2. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
, где обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Способы нахождения обратной матрицы
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
[править]Точные (прямые) методы
[править]Метод Гаусса—Жордана
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
.
.
Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n3).
[править]С помощью матрицы алгебраических дополнений
CT — транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Полученная матрица A−1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.
Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополненийэлементов исходной матрицы.
[править]Использование LU/LUP-разложения
Матричное уравнение AX = In для обратной матрицы X можно рассматривать как совокупность n систем вида Ax = b. Обозначим i-ый столбец матрицы X через Xi; тогда AXi = ei, ,поскольку i-м столбцом матрицы In является единичный вектор ei. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)[1].
Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA = LU. Пусть PA = B, B − 1 = D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1L − 1. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD = L − 1 и DL = U − 1. Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)−1 = A−1P−1 = B−1 = D. получаем равенство A − 1 = DP.
В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.
Сложность алгоритма — O(n³).
[править]Итерационные методы
[править]Методы Шульца
[править]Оценка погрешности
[править]Выбор начального приближения
Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.
БИЛЕТ 3. КРАМЕР.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.
БИЛЕТ 4. ГАУСС.
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2]
Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [3].
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.
Пусть для любых i > r.
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):
, где
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
Описание
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
БИЛЕТ 5. СКАЛЯРНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
1 СВОЙСТВА. Если скаляр, произведение равно 0- вектора ортагональны.
БИЛЕТ 6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
Векторное произведение- определитель матрицы 3 порядка, у которого первая строка, вектор и ж к, вторая строка, координаты 1 вектора , а третья строка, координаты 2 вектора.
Ответ вектор.
Свойства: если произведение векторов равно 0- то вектора колинеарны.
БИЛЕТ 7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":
В частности,
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Три вектора, определяющие параллелепипед.
Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
БИЛЕТ 8 УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.