Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199Х год.

Требуется:

1. построить линейное уравнение парной регрессии y от x.

2. рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

4. выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.

5. оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. на одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение:

№ региона	Cреднедушевой прожиточный минимум в день на одного трудоспособного, тыс.руб., x	Среднедневная заработная плата, тыс.руб.,y
1	85	132
2	88	137
3	89	138
4	90	139
5	91	143
6	93	148
7	97	151
8	98	155
9	102	157
10	104	157
11	106	161
12	112	162

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу.

1	85	132	11220	7225	17424	137,5145	-5,5145	30,40971	4.18
2	88	137	12056	7744	18769	140,3996	-3,3996	11,55728	2.48
3	89	138	12282	7921	19044	141,3613	-3,3613	11,29834	2.44
4	90	139	12510	8100	19321	142,323	-3,323	11,04233	2.39
5	91	143	13013	8281	20449	143,2847	-0,2847	0,081054	0.2
6	93	148	13764	8649	21904	145,2081	2,7919	7,794706	1.89
7	97	151	14647	9409	22801	149,0549	1,9451	3,783414	1.29
8	98	155	15190	9604	24025	150,0166	4,9834	24,83428	3.22
9	102	157	16014	10404	24649	153,8634	3,1366	9,83826	1.998
10	104	157	16328	10816	24649	155,7868	1,2132	1,471854	0.77
11	106	161	17066	11236	25921	157,7102	3,2898	10,82278	2.04
12	112	162	18144	12544	26244	163,4804	-1,4804	2,191584	0.91
Сумма	1155	1780	172234	111933	265200	1780,004	-0,0035	125,1256	23.808
Сред.знач	96,25	148,3333	14352,83	9327,75	22100	148,3336		10,42713	1.984
	7,9804	9,8606
	63,6875	97,2321

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии . Для этого воспользуемся следующими формулами:

Получили уравнение: . Т.е. с увеличением среднедневной заработной платы на …. , среднедушевой прожиточный минимум в день на одного трудоспособного увеличится на 962 руб.

Уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи -линейным коэффициентом корреляции:

В соответствии со шкалой Чеддока можем сказать, что коэффициента корреляции указывает на заметную линейную связь между признаками.

Коэффициент детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 60,6% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходиться 39,4%

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера.

Сосчитаем фактическое значение F-критерия:

Табличное значение

Т.к. , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

Фактические значения t-статистик:

Табличное значение t-критерия Стьюдента при и числе степеней свободы есть

Т.к. , то признаем статистическую зависимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b: и . Получим, что и

Средняя ошибка аппроксимации

говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

Найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня:

т.е. найдем среднедневную заработную плату, если среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного составляет 102,99 руб.

Если среднедневная заработная плата составляет 154,815 руб., то среднедушевой прожиточный минимум в день на одного трудоспособного составит 102,99 руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза:

А доверительный интервал , где

,

Т.е. прогноз является статистически надежным.

Теперь на одно графике изобразим исходные данные и линию регрессии.

Задача №2. решить задачу №1, предположив, что связь между признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры следующих нелинейных уравнений: , и