30)Преобразование матрицы линейного отображения пи выборе нового базиса

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор 

^

A

: X_n → X_n в базисе e имеет матрицу A_e . Найдем матрицу этого оператора A_f в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .

Теорема. Преобразование матрицы оператора 

^

A

 при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

Af = C −1 Ae C.

(1)

Доказательство.

Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y = 

^

A

X . Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe и Ye — в "старом" базисе e ; Xf и Yf — в "новом" базисе f .

Тогда

Ye = Ae · Xe

и

Yf = Af · Xf.

Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем

Yf = C −1 Ye = C −1 Ae Xe = C −1 Ae C Xf.

Сравнивая с выражением Y_f = A_f · X_f , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.

31)Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство.

Определение

Скалярным произведением в векторном пространстве   над полем   называется функция   для элементов  , принимающая значения в  , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

для любых трех элементов   и   пространства   и любых чисел   справедливо равенство   (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

для любых   и   справедливо равенство  , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

для любого   имеем  , причем   только при   (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что   действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается  , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство   с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где   (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть   с метрикой, введённой по формуле:

,

где   и  .

33) Модуль вектора. Угол между векторами

Модуль вектора

Модулем (длиной) вектора   называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как  .

В евклидовом n-мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя, в том случае если это произведение задано как (x,y)=x₁ * y₁ + x₂ * y₂,...,x_n * y_n),где (x₁,x₂,...,x_n) (y₁,y₂,...,y_n) координаты векторов x,y в каком-тобазисе - то оно:  .

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один извекторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

                    

                                            рис.1.

Обозначение.  . Из определения следует, что  .

   Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого издвух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.