- •25. Взаимное расположение 2х прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между 2мя прямыми.
- •26. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •27.Плоскость. Уравнение плоскости.
- •29. Уравнение прямой в пространсте-канонические, параметрические и общие.
- •30.Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.
- •31. Взаимное расположение 2х прямых в пространстве. Угол между прямыми.
- •33.Множества . Числовая прямая. Ограниченные множества. Окрестность точки.
- •34. Последовательеость. Предел последовательности.
- •35. Б.М. И б.Б. Последовательности. Свойства
- •36.Свойства сходящихся последовательностей.Монотонные посл-ти.
- •42.Первый и второй замечательный пределы.
- •Свойства непрерывных функций.
25. Взаимное расположение 2х прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между 2мя прямыми.
Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.
(12)
Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).
Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12): 1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны; 3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают.
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2.
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
£-это наим.угол,отсчит.против часовой стрелки от прямой с угловым коэф. l1 до до прямой с угл.коэф. l2.
26. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть на плоскости дана точка М(х,у) и прямая А, заданная уравнением норм.формы xcos£+ysin£-p=0. Найдем расстояние от точки до прямой А. Обозначимчерез d искомое расстояние и рассм.слуйчай,когда начало координат О и точка М лежат по разные стороны от заданной прямой А. Запишем ур-ние прямой, проходящей через точку М параллел.данной прямой А: xcos£+ysin£-(p+d)=0 . Формула получит вид: d=│xcos£+ysin£-p│. Если прямая А задана уравнением Ax+By+C=0. A2+B2≠0, можно получить формулу рас-ния от заданной точки М до прямой А
27.Плоскость. Уравнение плоскости.
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;Плоскость — множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.Две плоскости являются либо параллельными либо пересекаются по прямой.Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке или же находится на плоскости.Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости параллельны друг другу.Две плоскости перпендикулярные одной и той же прямой параллельны друг другу.
Общее уравнение (полное) плоскости
где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю, уравнение называется неполным. При П. проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответствённо или ). При ( , или ) П. параллельна плоскости (соответственно или ).
Уравнение плоскости в отрезках:
где , , — отрезки, отсекаемые П. на осях и .
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :
в векторной форме:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель