1. Аналитические методы решения уравнений матем. физики. Метод Даламбера, решение задач Коши.

2. Аналитические методы решения уравнений матем. физики. Метод Фурье, решение смешанной задачи.

3. Вычеты и их применение к вычислению интегралов.

4. Вычеты, основная теорема о вычетах, применение вычетов к вычислению интегралов.

5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной. Понятие о конформном отображении.

6. Знакопеременные ряды, абсолютная сходимость. Признак Лейбница.

7. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

8. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

9. Интегрирование функции комплексного переменного.

10. Интегрирование функций комплексного переменного: теорема Коши и интегральная формула Коши.

11. Классификация диф. уравнений с частными производными.

12. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции.

13. Комплексные числа. Геометрическое изображение и формы записи комплексных чисел.

14. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

15. Линейные диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

16. Нахождение оригиналов для изображений с помощью вычетов.

17. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).

18. Нули аналитической функции. Ряд Тейлора и ряд Лорана.

19. О постановке задачи математической физики. Краевые и начальные условия и их физический смысл.

20. Обратное преобразование Лапласа. Разложение оригинала в сумму.

21. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолют. и условная сходимость рядов.

22. Определение производной функции комплексного переменного. Функция аналитическая в области. Условие Коши-Римана. Формулы для производной.

23. Операционный метод решения линейных ДУ и их систем.

24. Основные определения и понятия о диф. уравнениях с частными производными.

25. Основные элементарные функции комплексного переменного.

26. Основные признаки сходимости знакоположительных рядов.

27. Основные свойства преобразования Лапласа.

28. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Мажорантный признак Вейерштрасса.

29. Понятие функции комплексного переменного. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.

30. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Гармонический ряд.

31. Постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Формула решения задачи, записанное в полярных координатах.

32. Представление непериодической функции рядом Фурье.

33. Преобразование Лапласа. Образы простых функций.

34. Приближенные вычисления значений ф-й и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

35. Приближенное решение диф. уравнений с помощью степенных рядов.

36. Приведение диф. уравнений с частными производными каноническому виду.

37. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Геометрический ряд.

38. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

39. Решение задачи Коши для уравнений колебания струны методом Даламбера.

40. Ряд Тейлора и ряд Маклорена, разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

41. Ряды с комплексными членами. Абсолютная сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.

42. Ряды Фурье четных т нечетных функций.

43. Степенные ряды. Радиус сходимости, интервал сходимости.

44. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости Коши (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).

45. Теорема Тейлора и разложение элементарных функций комплексного переменного в ряды.

46. Типы уравнений второго порядка в частных производных.

47. Тригонометрические ряды (ряды Фурье). Разложение в ряд Фурье периодический функций.

48. Уравнение Пуассона и Лапласа, тип этих уравнений.

49. Уравнение теплопроводности, тип этого уравнения.(см 1.)

50. Функциональные ряды, область сходимости функциональных рядов. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.

№1. Аналитические методы решения уравнений математической физики. Метод Даламбера, решение задач Коши.

В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение решается только при начальных условиях:

Для нахождения решения введем новые переменные:

Тогда исходное уравнение принимает вид:

Решением этого уравнения будет функция , где  и  - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми. Получаем: Если продифференцировать полученный ответ, получим:

Т.е. .Далее с использованием начальных условий находим функции  и .

Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:

Тогда:

Решение задачи Коши получаем в виде:

Эта формула называется формулой Даламбера.

№2. Аналитические методы решения уравнений математической физики. Метод Фурье, решение смешанной задачи.

Начало в первом ответе.

Обозначим особенность метода Фурье и используем его для решения уравнения теплопроводимости, уравнения Лапласа, волнового уравнения. Обозначим специфику решения смешанной задачи для уравнений колебаний струны.

Метод Фурье (метод разделения переменных) базируется на разделении переменных в уравнении (32.1) посредством замены u(x,y)= X(x) Y(y)

Решая задачи для уравнений (32.1)-(32.3), используем данный метод.

Задача. Решить уравнения (32.1) для струны конечной длины при наличии следующих условий:

1) граничных (33.4)

2) начальных (33.5)

Нетрадиционное решение сформулированной задачи найдем в виде

Использовав его в (32.1), получим (33.6)

Поскольку в (33.6) левая часть предполагает зависимость от t, а правая зависит только от x, то знак равенства между ними может иметь смысл при условии, что обе части равны постоянной, которая имеет обозначение Предположим, что , в этом случае можно записать два стандартных дифференциальных уравнения: (33.7) (33.8)

Теперь обозначим общее для них решение (соответственно) (33.9)

Найти постоянные A,B,C,D можно из определенных в задаче условий. Используем (33.9) в граничных условиях (33.4) :

Поскольку B не= 0 (находим нетрадиционное решение), то

Пусть , в противном случае было бы Таким образом, имеем последовательность частных решений

есть последовательность частных решений (32.1). Запишем их сумму (33.10) по причине линейности и однородности (32.1) также можно назвать его решением, которое удовлетворяет (33.4) тогда, когда выполняются заданные условия по отношению к сходимости ряда (33.10). Достаточно представить правильную сходимость ряда (33.10) и рядов, образованных из него почленным двойным дифференцированием по x и по t: при выполнении условия уравнение (33.7) можно записать так

Его общее решение не удовлетворяет условиям (33.4).

К тому же значения именуют собственными значениями этой краевой задачи, а соответствующие им функции имеют названия собственных функций.

В (33.10) определяем в соответствии с начальными условиями (33.5):

В случае, когда функции удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, тогда коэффициенты можно определить в качестве коэффициентов Фурье:

(33.11)

Итак, ряд (33.10) с коэффициентами (33.11) есть решение сформулированной задачи.

№3. Вычеты и их применение к вычислению интегралов.

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке z0 называется комплесное число, равное значению интеграла (1/2πi)*замкн∫[L]f(z)dz, взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке z0, лежащей в области аналитической функции f(z) (т.е. в кольце 0<|z-z0|<R). Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке z0 символом Resf(z0) или Res(f(z);z0). Таким образом, Resf(z0)=(1/2πi)*замкн.∫[L]f(z)dz. Если положить n= -2, то получим c(инд.-1)=(1/2πi)*замкн∫[L]f(z)dz или Resf(z0)=c(инд.-1), т.е. вычет функции f(z) относительно особой точки z0 равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции f(z) в ряд Лорана. ТЕОРЕМА КОШИ: Если функция f(z) является аналитической а замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек z(инд.k) (k=1,2,…n), лежащих внутри области D, то замкн∫[L]f(z)dz=2πiΣ[n;k=1]Resf(z(инд.k)).

Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.

Пусть а полюс n-го порядка ф-ии f(z), вычет ф-ии f(z) относительно ее полюсе n-ного порядка вычисляется: res f(z)=1/(n-1)! Lim_za d^n-1[(z-a)ⁿf(z)]/dz^n-1; residue- вычет. Если а полюс первого порядка res f(z)=lim_za(z-a)f(z). Пусть ф-я (z),(z) регулярны точка z=a. (a)0, (a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ии f(z)= (z)/(z); res_a f(z)= (z)/(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в области D.  f(z)dz=2Пi  res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пусть f(z) аналитическая ф-я f области D. Число аD и f(a)0F(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии: resa F(z)= lim_za (z-a)F(z)=limza(z-a) f(z)/z-a= lim_za f(z)=f(a)  f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi  f(z)dz-формула Коши.

№4. Вычеты, основная теорема о вычетах, применение вычетов к вычислению интегралов.

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке z0 называется комплесное число, равное значению интеграла (1/2πi)*замкн∫[L]f(z)dz, взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке z0, лежащей в области аналитической функции f(z) (т.е. в кольце 0<|z-z0|<R). Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке z0 символом Resf(z0) или Res(f(z);z0). Таким образом, Resf(z0)=(1/2πi)*замкн.∫[L]f(z)dz. Если положить n= -2, то получим c(инд.-1)=(1/2πi)*замкн∫[L]f(z)dz или Resf(z0)=c(инд.-1), т.е. вычет функции f(z) относительно особой точки z0 равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции f(z) в ряд Лорана. ТЕОРЕМА КОШИ: Если функция f(z) является аналитической а замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек z(инд.k) (k=1,2,…n), лежащих внутри области D, то замкн∫[L]f(z)dz=2πiΣ[n;k=1]Resf(z(инд.k)).

Основная теорема о вычетах.

Пусть а полюс n-го порядка ф-ии f(z), вычет ф-ии f(z) относительно ее полюсе n-ного порядка вычисляется: res f(z)=1/(n-1)! Lim_za d^n-1[(z-a)ⁿf(z)]/dz^n-1; residue- вычет. Если а полюс первого порядка res f(z)=lim_za(z-a)f(z). Пусть ф-я (z),(z) регулярны точка z=a. (a)0, (a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ии f(z)= (z)/(z); res_a f(z)= (z)/(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в области D.  f(z)dz=2Пi  res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пусть f(z) аналитическая ф-я f области D. Число аD и f(a)0F(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии: resa F(z)= lim_za (z-a)F(z)=limza(z-a) f(z)/z-a= lim_za f(z)=f(a)  f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi  f(z)dz-формула Коши.

Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.

Пусть а полюс n-го порядка ф-ии f(z), вычет ф-ии f(z) относительно ее полюсе n-ного порядка вычисляется: res f(z)=1/(n-1)! Lim_za d^n-1[(z-a)ⁿf(z)]/dz^n-1; residue- вычет. Если а полюс первого порядка res f(z)=lim_za(z-a)f(z). Пусть ф-я (z),(z) регулярны точка z=a. (a)0, (a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ии f(z)= (z)/(z); res_a f(z)= (z)/(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в области D.  f(z)dz=2Пi  res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пусть f(z) аналитическая ф-я f области D. Число аD и f(a)0F(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии: resa F(z)= lim_za (z-a)F(z)=limza(z-a) f(z)/z-a= lim_za f(z)=f(a)  f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi  f(z)dz-формула Коши.

№5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной. Понятие о конформном отображении.

Пусть функция w=f(z) аналитична в точке z0 и f '(z0)≠0. Выясним геометрический смысл аргумента и модуля произвоной. Функция w=f(z) отображает точку z0 плоскости z в точку w0=f(z0) плоскости w. Пусть производная точка z=z0+∆z из окрестности точки z0 перемещается к точке w0 по некотрой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости w. По определению производной f '(z0)=lim(∆z0)∆w/∆z. Отсюда следует, что |f '(z0)|=|lim(∆z0)∆w/∆z|=lim(∆z0)|∆w/∆z|. Величина |∆z|=|z - z0| представляет собой расстояние между точками z0 и z0+∆z, а |∆w| - расстояние между точками w0 и w0+∆w. Следовательно, |f '(z0)| есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками w0 и w0+∆w к бесконечно малому расстоянию между точками z0 и z0+∆z. Этот предел не зависит (f(z) аналитична в точке z0) от выбора кривой l, проходящей через точку z0. Следовательно, предел lim(∆z0)|∆w|/|∆z|=|f '(z0)| в точке z0 постоянен, т.е. одинаков во всех направлениях. Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: величина |f '(z0)| определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке z0 при отображении w=f(z). Величину |f '(z0)| называют коэффициентом растяжения, если |f '(z0)|>1, или коэффициентом сжатия, если |f '(z0)|<1. Отображение w=f(z), обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке z0, называется конформным (т.е. отображением, сохраняющим форму). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то такое отображение называется конформным отображением 1-го рода; если направление отсчета углов изменяется на противоположное – конформным отображением второго рода

№6. Знакопеременные ряды, абсолютная сходимость. Признак Лейбница.

Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действ-ые числа, а знаки его членов могут меняться Пусть дан ряд: u1+u2…+un= (1), где un – может быть как >0, так и <0. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда: |u1|+|u2|…+|un|= (2), Если сх-ся ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сх-ся, а если ряд (1) сх-ся, а ряд (2) расх-ся. то ряд (1) наз сх-ся условно.

Т. Признак абсолютной >=0: Если знакочередующийся ряд сх-ся условно. то он и просто так сх-ся, при этом: <= Док-ва:т. к. 0<=|un|+un <=2|un|, то по признаку ср-ния сх-ся ряд |un|+un, тогда сх-ся ряд: (|un|+un)-un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un|  n  N, то переходя к пределу получим: <=

Т2 Если ряд (1) абсолютно сх-ся, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сх-ся и его сумма равна сумме ряда un – Sn.

Т(Римана): Если знакопеременный ряд с действительными членами сх-ся условно, то каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых

№7. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд назыв-ся знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные, если считать каждый член этого ряда >0то его можно записать в виде:. Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…

2)

то ряд сх-ся, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам: 0<=S<=un и |r_n|<=un+1 Ряд удовлетвор-ий условиям теоремы наз. рядом Лейбница. Если условие чередования знаков вып-ся не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сх-ся.

№9. Интегрирование функции комплексного переменного.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой: где   - точка, произвольно выбранная на дуге    разбиения кривой,  -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,  -  шаг разбиения, - длина хорды, соединяющей концы дуги , кривая l разбивается произвольным образом на n частей , k=1,2...n.

На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. В случае замкнутой кривой l = C, интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С. Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:

где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).

2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования l задается в параметрической форме z = z(t)) - применяется формула:

3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях - примененяеется формула:

где F(z) - первообразная для f(z).

№8. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

№10. Интегрирование функций комплексного переменного: теорема Коши и интегральная формула Коши.

Если функция аналитична в односвязной области D, ограниченной контуром Г, и - замкнутый контур в D, то

Если, дополнительно, функция непрерывна в замкнутой области , то (теорема Коши).

Если функция аналитнчна, в многосвязной области D, ограниченной контуром Г и внутренними по отношению к нему контурами , и непрерывна в замкнутой области , где знаки в верхних индексах означают направления обходов (рис. 98), то

(теорема Коши для многосвязной области).

Если функция определена и непрерывна в односвязной области D и такова, что для любого замкнутого контура то при фиксированном функция является аналитической в области D функцией, для которой .

Функция называется первообразной или неопределенным интегралом от , причем если - одна из первообразных для , то

Если аналитична в области D, и - контур, охватывающий точку , то справедлива интегральная формула Коши

При этом функция имеет всюду в D производные любого порядка, для которых справедливы формулы

Конец формы

№11. Классификация диф. уравнений с частными производными.

Большая часть всех уравнений в частных производных 2^го порядка, линейных относительно вторых производных являются представителями 3^х различных классов уравнений, которые существенно отличаются друг от друга по методам исследования и по физической природе (описывают различные физические явления).

Остановимся более подробно на случае 2^х независимых переменных:  u = u(x,y).

a,b,c - функции, определенные в некоторой области Ω = Oxy и имеющие непрерывные производные до 2^го порядка.

f - непрерывная функция своих аргументов; если f - линейная относительно u, u_x , u_y, то уравнение (1) - линейное.

Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных (x, y) привести уравнение (1) к наиболее простому виду.

Введем новые переменные:     ,     и потребуем, чтобы они были дважды непрерывно-дифференцируемы и чтобы якобиан перехода:

в области Ω.

Преобразуем производные к новым переменным:

Тогда уравнение (1) в новых переменных примет вид:

    где

Попытаемся выбрать ξ(x, y) и η(x, y) так, чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов A,B,C. Вопрос об обращении A и С в нуль эквивалентен вопросу о разрешимости дифференциального уравнения 1^го порядка.

  относительно неизвестной функции z(x, y). Поделим на z_y²:

   

Решим как квадратное уравнение относительно :

   

Решая каждое из них методом характаристик:

          - интегралы системы (*), а, следовательно, решения уравнения (4).

Уравнения (5) могут быть записаны в виде одного уравнения:

Обычно это уравнение и используют для определения интегралов системы (5). Поведение функций φ(x, y) и ψ(x, y), а, следовательно, и искомый простейший вид исходного уравнения зависит от знака  

Определение:   Уравнение (1) называется в некоторой точке

гиперболического типа, если  

эллиптического типа, если  

параболического типа, если  

Определение:   Если знак сохраняет знак, или в некоторой области , то уравнение является гиперболическим, эллиптическим или параболическим в области G₁:

Пример:

   

   

   

   

№12. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции.

Точка а С_z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|<r }, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции  (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z= и функция имеет в точке x =0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если не существует.

Заметим, что типы особых точек z= функции f (z) и x =0 функции j(x) совпадают, ибо

Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т 1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия

f (a)=f¢  (a)=…=f ^(m-1)(a)=0, f ^(m)(a) 0.

При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.

Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).

Замечание.

Вообще, если , где P(z) и Q(z) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q(z) (и только они) являются полюсами функции f (z). Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).

Точка z= называется нулем кратности m 1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция имеет нуль кратности т в точке x =0.

Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a|<r} и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,

.

Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.

1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.

2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т³ 1, если главная часть имеет вид

, где с_т 0.

3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов. Разложение функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид

Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.

Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z= , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z= .

Связь между порядком нуля и порядком полюса - Точка z₀ называется нулем n-го порядка регулярной функции f (z), если Если f (z) регулярна и имеет в z₀ нуль порядка m , то 1/f(z) имеет в этой точке z₀ полюс m -го порядка.

№13. Комплексные числа. Геометрическое изображение и формы записи комплексных чисел.

Комплексным числом z называется выражение вида z=х+iу, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, i²=-1.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если у=0, то число х+i0=х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. e. RÌС.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х=Re z, а у — мнимой частью z, у = Im z.

Два комплексных числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называются равными (z₁=z₂) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х₁=х₂, y₁=у₂. В частности, комплексное число z=х+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z=х+iy и z=х-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.