1. Матрицы и действия над ними

Матрицей А размера n×m называется прямоугольная таблица из n строк и m столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений aij (называемых элементами матрицы).

Матрица , у которой число строк равно числу столбцов , называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали , равны нулю , называется диагональной.

Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все элементы, расположенные ниже (выше) от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой

Операции над матрицами

Сложение

Суммой двух матриц называется матрица такая , что

Свойства операции сложения матриц

• А + В = В + А (коммутативность)

• (А + В)+С = А + (В + С)(ассоциативность)

Умножение на число

Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что

Свойства операции умножения матрицы на число

• (дистрибутивность относительно сложения матриц)

• (дистрибутивность относительно сложения чисел)

• (ассоциативность)

Произведение матриц

умножение двух матриц возможно только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Свойства операции умножения матриц

• (ассоциативность)

• (дистрибутивность)

• (дистрибутивность)

2. Определитель матрицы

Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A =

3. Обратные матрицы

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

4. Алгоритм нахождения матрицы

НЕТУ (((

5. Системы линейных алгебраических уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида:

Совместная система вида называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

6. Основные понятия систем линейных уравнений

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k₁, k₂, ..., k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁, x₂, ..., x_n дает верное числовое равенство.

7. Метод Крамера. Решение систем линейных уравнений

Метод Крамера ( формулы Крамера ) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство: