Поле в диэлектрике.
Для потенциального электрического поля (rot E = 0) соотношением E = –grad вводится скалярная расчетная величина (потенциал), как любой скаляр удовлетворяет тождеству rot grad ≡ 0, при этом , где C – константа.
Электрический потенциал точки A , где P – точка, потенциал которой принят (задан) равным нулю: .
Разность электрических потенциалов точек A и B (электрическое напряжение )
.
Выражения градиента потенциала в декартовых, цилиндрических и сферических координатах:
Декартовы (x, y и z) |
|
Цилиндрические (r, α и z) |
|
Сферические (r, θ и α) |
|
В декартовой системе координат , , .
В однородной среде (ε=const) для потенциала справедливо уравнение Пуассона: .
Решением уравнения Пуассона является выражение: , где V – объем, занятый свободными зарядами, распределенными с плотностью ρ; r –расстояние от точки определения потенциала до точки расположения элементарного заряда .
В областях, не занятых объемными зарядами (ρ=0) имеет место частный вид уравнения Пуассона – уравнение Лапласа: .
Выражения Δφ в декартовых, цилиндрических и сферических координатах:
Декартовы (x, y и z) |
|
Цилиндрические (r, α и z) |
|
Сферические (r, θ и φ) |
|
Граничные условия.
Для нахождения потенциала φ уравнение Пуассона (Лапласа) следует дополнить граничными условиями:
На поверхности проводника |
На границе раздела двух сред 1 и 2 с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2 |
или , где – составляющая вектора напряженности поля, касательная к поверхности проводника. |
или , где – составляющая вектора напряженности поля, касательная к границе раздела сред, т.е. . |
, где – составляющая вектора смещения, нормальная к поверхности проводника (нормаль направлена в сторону диэлектрика); σ – плотность поверхностного свободного заряда на проводнике. |
, где – составляющая вектора смещения, нормальная к границе раздела сред, при условии, что нормаль направлена из первой среды во вторую. В частности, при σ=0: или , . Для связанного заряда: , , .
|
Емкость проводящих тел.
Емкость уединенного проводящего тела определяется отношением ,
где q – заряд тела, φ – его потенциал, определенный при условии, что потенциал бесконечно удаленной точки принят равным нулю: φ∞ = 0.
Емкость между двумя уединенными проводящими телами (конденсаторная емкость) равна отношению: , где q1 – заряд первого тела; φ1 и φ 2 – потенциалы тел, определенные при условии, что q2 = –q1. Для однородной двухпроводной линии длиной , кабеля длиной вводится емкость на единицу длины [Ф/м].
Задача 1. Плоский конденсатор с двумя слоями диэлектрика d1 = d2=1 см;
εrl = 3, εr2 = 6 (рис. 1) зарядили до напряжения U = 100 В и отключили от источника. Найти электрическое смещение, напряженность поля и распределение потенциала в обоих диэлектриках.
Определить: 1) как изменятся эти величины и емкость конденсатора, если из конденсатора вынуть пластину второго диэлектрика; 2) каковы будут эти величины, если конденсатор останется подключенным к источнику.
Рис. 1
Решение. Напряжение между пластинами конденсатора (разность потенциалов): В пределах каждого диэлектрика напряженность поля постоянна, поэтому U = E1d1 + E2d2. На границе двух диэлектриков свободный заряд отсутствует и, следовательно, по εr1E1 = εr2E2.
Следовательно, напряженность в каждом слое:
Электрическое смещение:
D1 = D2 = D = εr1ε0E = 200 ε0 = 17,72·10-12 Кл/см2.
Потенциал , следовательно, с учетом и ,
φ1 = (100 – 66,7х) В и φ2 = (66,7 – 33,3х) В, где х - в сантиметрах.
1) Если вынуть вторую пластину при отключенном источнике, то останется неизменным заряд на пластинах, поверхностная плотность которого по (13.19) равна электрическому смещению, т.е. останется прежним: σ=D= 17,72 10-12 Кл/см2.
Напряженность поля по при εr2 = 1: Е1 = D/ εr1ε0 = 66,7 В/см; Е2 = D/ εr2 ε0 = 200 В/см;
Напряжение на конденсаторе увеличится: U = E1d1 + E2d2 = 266,6 B.
Распределение потенциала: φ1 = (266,6 – 66,7х); φ2 = (400 – 200х) В.
2) Если вынуть пластину второго диэлектрика при включенном источнике, то напряжение останется прежним, и при εr2 = 1 получим:
Электрическое смещение D = εr1ε0E1 = εr2ε0E2 = 6,65 10-12 Кл/см2, т.е. плотность заряда на пластинах уменьшится.
Распределение потенциала: φ1 = (100 – 25х) В и φ2 = (150 – 75х) В.
В обоих случаях емкость конденсатора на единицу поверхности электродов
С0 = q/U = D/U = εr1εr2ε0/(d1εr2 + d2εr1) уменьшится.
Задача 2. В пространстве между заземленными электродами плоского воздушного конденсатора распределен электрический заряд плотностью ρ, равной ρ = ax. Координата x отсчитывается по нормали от одного из электродов. Найти потенциал и напряженность поля. Расстояние между электродами равно 2d. Построить распределение , , найти потенциал изолированной металлической сетки, удаленной на расстоянии от левой заземленной пластины. Пластина расположена строго параллельно пластинам.
Дано: d= 0,1 м, а=5·10-4 Кл/м3, U=3 кВ, =6 см.
Решение. В области 0 < x < d (Рис. 1) потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона . При интегрировании , .
Рис. 1
Константы С1 и С2 (постоянные интегрирования) найдем из заданных граничных условий (заданных значений потенциалов) и . После подстановки С2=0, имеем С1=12,4·104 В/м, окончательно (В).
Так как , то (В/м).
Потенциал сетки В.
Задача 3. Решить задачу 2 при условии, что сетка заземлена, а источник изолирован.
Решение. Общий вид решения не изменится, но константы С1 и С2 (постоянные интегрирования) найдем из заданных граничных условий заданных значений потенциала и разности потенциалов . Получим (В). Левый и правый электрод будут иметь потенциалы В, В.
Так как , то распределение не изменится.
Коаксиальный кабель представляет собой симметричную систему проводников (жила и оболочка) с диэлектрической прослойкой (изоляция между жилой и оболочкой) и может быть рассмотрен как цилиндрический конденсатор. Поле кабеля является плоскопараллельным, распределение потенциала во всех параллельных плоскостях, нормальных к осевой координате, является одинаковым. На основе теоремы Гаусса при однородной изоляции между жилой и оболочкой и равномерном распределении заряда по поверхности жилы можем записать, что , где - линейная плотность заряда, - расстояние, отсчитываемое от центра (оси), , - радиус жилы, - внутренний радиус оболочки. Модуль вектора напряженности выражается равенством [В/м]. При Гауссова поверхность не охватывает неподвижного свободного заряда, поэтому электростатического поля внутри проводника нет и . При суммарный охваченный поверхностью заряд равен нулю и . Напряжение между жилой и оболочкой может быть найдено по формуле [В],
Электрическая емкость на единицу длины коаксиального кабеля: [Ф/м].
Максимальная напряженность, как следует из зависимости , наблюдается в точке, расположенной на поверхности жилы при , таким образом
. Максимальная напряженность не должна превышать допустимую напряженность изоляции1 Emax Eдоп; максимально допустимое напряжение может быть определено из условия Eдоп. Следовательно,
Umax= Eдоп . Графики и при имеют вид:
Задача 4. К цилиндрическому конденсатору дважды подводится напряжение, доводящее конденсатор до пробоя: первый раз, когда диэлектриком был воздух, пробивная напряженность которого Епр = E1 =30 кВ/см, и второй раз, когда диэлектриком было масло (εr = 2,4) с Епр = Е2 = 54 кВ/см.
Определить соотношение между напряжениями, прикладываемыми к конденсатору в первом и во втором случаях, и между зарядами конденсаторов в тех же случаях.
Решение. По теореме Гаусса напряженность поля в изоляции цилиндрического конденсатора . Учитывая, что разность потенциалов или напряжение , получим , где R1 - радиус внутреннего проводника (жилы) и R2 — внутренний радиус внешнего проводника (оболочки), .
Максимальная напряженность поля на поверхности жилы при :
откуда допустимое напряжение при равно
и максимальный заряд на единицу длины τ = 2πεrε0R1Eпр.
Следовательно, отношение допустимых напряжений равно отношению пробивных напряженностей: U1/U2 = Е1/ Е2 = 0,556, а отношение зарядов τ1/τ2 = Е1/εrE2 = 0,232.
Задача 5. Цилиндрический конденсатор (рис.2), где R1 = 1 мм, R2 =2 мм, R3 = 4 мм) заполнен двухслойным диэлектриком: 1) εra = 1; εrb = 3 или
2) εra = 3; εrb = 1.
О пределить в обоих случаях пробивное напряжение и построить зависимости напряженности поля от радиуса. Сравнить со случаем однородного диэлектрика, имеющего свойства слоя а или b.
Рис. 2
Пробивная напряженность воздуха 30 кВ/см, пробивная напряженность диэлектрика 60 кВ/см.
Решение. Из теоремы Гаусса следует, что для и для . Напряжение между жилой и оболочкой:
В случае 1, если допустить Еmax = Ea max при r = R1, то τ = 6πε0, если Еmax = Eb max при
r = R2, то τ = 72πε0.
Во избежание пробоя надо взять меньшее значение заряда, т.е. τ = 6πε0, при этом пробивное напряжение:
В случае 2 меньшее значение τ = 12πε0 и пробивное напряжение
Из зависимостей Е(r) видно, что в случае 2 поле в конденсаторе меньше изменяется, что приводит к повышению пробивного напряжения.
1) 2)
Если изоляция конденсатора заполнена только диэлектриком εra = 1, то есть Ea max = 30 кВ/см = τ/2πεrа ε0R1, тогда τ = 6πε0. При этом . Если изоляция конденсатора заполнена только диэлектриком εrb = 3, то Eb max = 60 кВ/см = τ/2π εrb ε0 R1 и τ = 36πε0, при этом
1 Допустимая напряженность Eдоп или Eпроб для воздуха Eдоп=30 кВ/см, твердого диэлектрика
Eдоп=60 200 кВ/см, масла Eдоп=54 кВ/см.