Закон сохранения импульса:
Сумма импульсов всех тел замкнутой системы есть величина постоянная.
№8
Движение называется периодическим, если x(t)=x(t+T), где Т – период.
Колебание – это периодическое движение около положения равновесия.
Период Т – это время, за которое совершается одно полное колебание.
Частота – число полных колебаний в единицу времени . Круговая (циклическая частота):
Гармоническими называются колебания, при которых смещение точки от положения равновесия в зависимости от времени изменяется по закону синуса или косинуса. x=A*sin(w0t+α), где А – амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия) wo –круговая частота гармонических колебаний, w0t+α – фаза, α – начальная фаза.
Система, совершающая гармонические колебания, называется классическим гармонически осциллятором или колебательной системой.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях: Отсюда следует что a= - wo2x. Из последних двух уравнений получаем что х.. + wo2x=0 – это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Если подставить a= - wo2x во второй закон Ньютона, получим что F=- wo2xm (это сила под действием которой происходят гармонические колебания), если обозначить wo2m=k то F=-kx. Сила направлена противоположно смещению, и прямо пропорционально смещению точки от положения равновесия называется – возвращающей силой, а k называется коэффицентом возвращающей силы. Таким свойством обладает сила упругости. Силы другой физической природы которые подчиняются закону F=-kx называются квазиупругими.
Из формулы wo2m=k и получаем круговую частоту и период этих колебаний:
=
При гармонических колебаниях по закону зависимости кинетической и потенциальной энергии от времени имеют вид:
Полная энергия в процессе гармонических колебаний сохраняется
Ек+U=const
Примером классического гармонического осциллятора является легкая пружина, к которой подвешен груз массой m. Коэффициент вращающей силы k называется коэффициентом жесткости пружины. Из второго закона Ньютона для груза на пружине F=-kx получим уравнение, совпадающее по форме с дифференциальным уравнением гармонических колебаний, значит груз на пружине при отсутствии сил сопротивления среды будет совершать гармонические колебания.
Гармонические колебания можно представить в виде проекции на оси координат вектора, величина которого равна амплитуде А, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью wo . На этом представлении основан метод векторных диаграмм сложения гармонических колебаний с одинаковой частотой проходящих по одной оси:
)
Тогда амплитуда результирующих колебаний определяется по теореме косинусов:
Начальная фаза результирующего колебания может быть найдена по формуле:
При сложении однонаправленных колебаний с близкими частотами w1 и w2 возникают биения , частота которых w1 - w2.
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:
)
имеет вид
Если начальные фазы , то уравнение траектории – прямая y= или y= . Если разность фаз = π\2 то точка движется по эллипсу
Физический маятник – это твердое тело способное совершать колебания вокруг закрепленной оси проходящей через точку О (центр вращения) не совпадающую с центром масс. Колебания явлюятся гармоническими при малых углах отклонения. Момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О, является возвращающим моментом и выражается соотношением
M=mgdsin ≈ mgd
(где d это расстояние от точки относительно которой тело совершает колебания до центра масс, - угол отклонения)
Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид M=Y*ξ ((где Y-момент инерции Y=∑mi*ri2 -скалярная величина, мера инертности тела при вращательном движении маятника относительно оси, проходящей через точку О, ξ – угловое ускорение)
Из последних двух формул получаем что .
Решением этого уравнения будет где wo = , а значит период колебаний физического маятника равен Т0=2π
Математический маятник - материальная точка подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной L. Предполагаем что d=l, Y=ml2 получим формулу периода колебаний математического маятника Т0=2π
Для тела подвешенного на легкой упругой проволоке, которое совершает крутильные колебания вокруг оси, совпадающей с проволокой. При повороте на малый угол в проволоке возникает возвращающий момент упругих сил:
M=-c* Коэффициент возвращающего момента зависит от материала проволоки и её размеров:
где G – модуль сдвига характеризующий упругие свойства материала, r – радиус проволоки, L – её длина.
Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:
Y* =M
Из этой и M=-c* получаем Решением этого уравнения будет где - угловое смещение от положения равновесия, а - амплитуда колебаний , а значит период колебаний математического маятника равен Т0=2π (w0=
Свободные колебания становятся затухающими из-за наличия сил сопротивления. Например когда материальная точка колеблется в вязкой среде, при малых скоростях на неё действует сила сопротивления среды Fcопр=-rv=-rx где r – коэффицент сопротивления среды. Поэтому из второго закона Ньютона получаем:
mx’’=-kx-rx, получим отсюда дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
x’’+r\x * x’ +k\m*x=0
Его решение для случая, когда k\m >(r\2m)2 имеет вид x=A0e-bt sin(wt+a) где A0e-bt – амплитуда собственных затухающих колебаний, b- коэффициент затухания, w – угловая частота затухающих колебаний, а – начальная фаза.
Для случая, когда k\m <(r\2m)2 система совершает апериодические движение к положению равновесия. Коэффициент затухания b – величина обратная времени, за которое амлитуда убывает в е раз: b=r\2m
Круговая частота затухающих колебаний w =