3. Последовательности.

3.1 Числовая последовательность.

Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, x₃, ..., x_n мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {x_n}.

]Задание последовательностей

Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):

1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n,... - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10, ..., 2n ,... - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n+1 , ... - последовательность нечётных чисел.

3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; ...; 3,1415926535897932384626433832; ...;  ; ... - последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.

В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.

Связь с функцией

Определение. Числовая последовательность — функция от одного натурального аргумента.

x_n - члены числовой последовательности. n - номер члена числовой последовательности. {x_n} или   - общий член.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.

3.2 Предел числовой последовательности

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут  .

(любое ε>0 для существующего N так чтобы любое n>N)

Чтобы сформулировать это определ ение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью точки x₀ называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x₀, для которой x₀ является серединой, тогда x₀ называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

С ледовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x_n}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности

Если функция непрерывна в точке х₀, то предел функции равен значению функции в этой точке.

3.3 Предельный переход в неравенствах

Правило 1. Если функция f непрерывна в точке x₀, то Δf→0 при Δx→0.        Правило 2. Если функция f имеет производную в точке х₀, то Δf/Δx→f'(x₀) при Δx→0.        Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке х₀ и производной в точке x₀.        Правило 3. Пусть f (x)→A, g{x)→B при x→x₀. Тогда при х→x₀ (т. е. при Δx→0): 

а) f(x) + g(x)→A + B;  б) f(x)•g(x)→A•B;  в) f(x)/g(x)→A/B (при B≠0).

      Для непрерывных функций f u g 

А = f (х₀), В = g (х₀)

и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке хо функций непрерывны в точке х₀ (частное в случае, когда g(x₀)≠0). 

3.4 Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы

1.2 Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x₁, x₂, x₃, ... }.

         Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

         В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение {x_n}.

         Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, x₃, ..., x_n мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {x_n}.

]Задание последовательностей

Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):

1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., N,... - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10, ..., 2N ,... - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n+1 , ... - последовательность нечётных чисел.

3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; ...; 3,1415926535897932384626433832; ...; ; ... - Последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.

В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.

Связь с функцией

Определение. Числовая последовательность — функция от одного натурального аргумента.

x_n - члены числовой последовательности. n - номер члена числовой последовательности. {x_n} или   - общий член.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c{x_n} – это последовательность с элементами {cx_n}, то есть

c{x₁, x₂, x₃, ... }={cx₁, cx₂, cx₃, ... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{x_n}{y_n}={x_ny_n},

или, более подробно,

{x₁, x₂, x₃, ... }{y₁, y₂, y₃, ... }={x₁ y₁, x₂ y₂, x₃ y₃, ... }.

3. Умножение последовательностей.

{x_n}{y_n}={x_ny_n}.

4. Деление последовательностей.

{x_n}/{y_n}={x_n/y_n}.

Естественно, предполагается, что в этом случае все y_n0.

         Определение 2.

         Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если      .

Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если      .

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

1.3 Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности {x_n} при n стремящимся к бесконечности, если

.

Для этого факта используют следующие обозначения:

    или   .

Подчеркнем, что N зависит от .

         Варианты определения.

         Говорят, что  , если  .

         Говорят, что  , если  .

         Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если   (то есть, если  ).