14 Вопрос.
Приведение матрицы к диагональному виду.
Говорят, что А диагонализируема, если существует подобная ей диагональная матрица.
Утверждение!
Если матрица А приводится к диагональному виду, то на главной диагонали матрицы расположено собственное значение матрицы А.
А
=>
Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)( λ22 – λ)…( λnn – λ)= 0
Теорема.
Для того чтобы матрица А порядка n была диагонализируема, необходимо, чтобы существовали линейно-независимые собственные вектора матрицы А.
Следствие.
Если все собственные значения матрица А различны, то она диагонализируема.
Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений.
1)составляем характеристическое уравнение
Det(A-λE) = 0
2)находим корни уравнений
λ1, λ2,.. λn
3)составляем систему уравнений для определения собственного вектора.
λi (A-λi E)X = 0
4)находим фундаментальную систему решений
x1,x2..xn-r ,где r - ранг характеристической матрицы.
r =Rg(A - λi E)
5)собственный вектор, собственные значения λi записываются в виде:
X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r ,где С12 +С22 +… С2n ≠0
6)проверяем, может ли матрица быть приведена к диагональному виду.
7)находим Ag
Ag = S-1AS S= [x1, x2,…xn]
15 Вопрос.
Базис прямой, плоскости, пространства.
Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом.
Базисом на прямой является любой ненулевой вектор.
Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора.
Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов.
Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе.
а1 , а2 , а3 – координаты.
16 Вопрос.
Векторы.
1.Скаляром называется всякое действительное число.
Вектором называется направленный прямолинейный отрезок.
В векторной алгебре приходится рассматривать также и нулевой вектор. Нулевым вектором является точка (ō)
Направление нулевого вектора считается неопределенным.
2.Равенство векторов.
В векторной алгебре два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и одинаковые направления.
Два вектора считаются одинаково-направленными, если они расположены на одной прямой, или на параллельных прямых и направлены в одну сторону.
При параллельном переносе длина и направление векторов не изменяется, то есть точка, приложения вектора, это любая точка пространства.
Такие векторы называются свободными.
3.Модуль вектора.
Модулем
вектора называется его длина, то есть
расстояние между А и В (│
│,
│
│).
Модуль вектора равен нулю, тогда, когда
этот вектор нулевой (│ō│=0)
4.Орт вектора.
Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице.
Равные вектора имеют равные орты.
5.Угол между двумя векторами.
Это меньшая часть площади, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленные одинаково с данными векторами.
Сложение векторов. Умножение вектора на число.
1)Сложение двух векторов
Суммой двух векторов является с(вектор), соединяющий начало а(вектор) с концом в(вектор), при условии, что начало второго совмещено с концом первого.
Рисунок*
│
+
│≤│
│+│
│
2)Умножение вектора на скаляр.
Произведением вектора и скаляра называют новый вектор, который имеет:
а) = произведения модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра.
б) направление одинаковое с умножаемым вектором, если скаляр положителен, и противоположное, если скаляр отрицателен.
λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │
λō=ō ;0 =0
Свойства линейных операций над векторами.
1.Закон коммунитативности.
+
=
+
2. Закон ассоциативности.
+(
+
)
= (
+
)
+
)
3. Сложение с нулем.
а(вектор)+ō= а(вектор)
4.Сложение с противоположным.
+(-1) =ō
5. (αβ) = α(β ) = β(α )
6;7.Закон дистрибутивности.
α( + )=α +α
(α+β) = α +β
8. 1 =
Выражение вектора через его модуль и орт.
–
орт
=
│
│
Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом.
Базисом на прямой является любой ненулевой вектор.
Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора.
Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов.
Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе.
а1 , а2 , а3 – координаты.