- •Основные обозначения
- •1 . Числовые множества
- •1.1 Множество натуральных чисел
- •2. Векторы в геометрической форме
- •2.2. Действия с векторами в геометрической форме
- •2.2.1. Сложение
- •2.2.2. Вычитание
- •2.2.3. Умножение на число (скаляр)
- •Условие коллинеарности векторов
- •3 . Метод координат
- •3.1. Понятие числовой оси
- •3.3.2. Расстояние между двумя точками
- •3.3.3. Деление отрезка в данном отношении
- •3.3.4. Косоугольная декартова система координат
- •3.3.5. Полярная система координат
- •3.3.6. Связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами
- •3.3.7. Параллельный перенос координатных осей
- •3.3.8. Поворот координатных осей
- •3.4. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
- •3.4.1. Расстояние между двумя точками
- •3.4.2. Деление отрезка в данном отношении
- •3.5. Проекция вектора на координатную ось
- •4. Умножение векторов
- •4.7. Условие ортогональности векторов
- •4.13. Условие коллинеарности векторов
- •4.17. Условие компланарности векторов
- •5 . Матрицы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Действия с матрицами
- •6. Определители
- •7. Обращение квадратных матриц
- •8. Ранг матрицы
- •9. Системы линейных уравнений
- •9.4.1. Теорема Крамера
- •9.4.2. Если система 8.4. - однородна, то она имеет ненулевое
- •9.5. Метод обратной матрицы
- •10. Векторы в координатной форме
- •10.1. Составляющая вектора по числовой оси
- •10.1.1. Составляющую вектора по числовой оси можно найти с помощью
- •10.1.2. В прямоугольной декартовой системе координат составляющие
- •1 0.2. Разложение вектора на составляющие по координатным осям
- •10.2.1. Любой вектор равен сумме всех своих составляющих по осям координат.
- •10.2.2. Для того, чтобы задать вектор, достаточно задать все его координаты.
- •10.2.3. Действия с векторами в координатной форме
- •11. Комплексные числа
- •12. Векторное n-мерное пространство
- •13. Собственные числа и собственные векторы
- •14. Векторы и системы линейных уравнений в экономике
- •14.1. Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)
- •14.2. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Оглавление
13. Собственные числа и собственные векторы
Пусть дано векторное пространство Rn.
Если существует правило (L), по которому любому вектору X Rn ставится в соответствие единственный вектор Y Rn, то такое правило называют оператором
или преобразованием в пространстве Rn, причем вновь полученный вектор Y называют образом данного вектора Х, а данный вектор Х называют прообразом вновь полученного вектора Y.
Зададим квадратную матрицу n-го порядка А. И пусть преобразование состоит в том, что каждому вектору X Rn ставится в соответствие вектор
13.1.
Матрицу А, осуществляющую это преобразование называют матрицей оператора L.
Если оператор задан квадратной матрицей А, то он обладает двумя очень важными свойствами:
13.2. При сложении прообразов образы тоже складываются
.
13.3. Если прообраз умножить на скаляр, то образ тоже умножится на этот скаляр
.
Если оператор обладает свойствами 11.2. и 11.3., то его называют линейным оператором. Следовательно, квадратную матрицу n-го порядка А, столбцами которой являются базисные векторы пространства Rn, можно рассматривать как матрицу линейного оператора. При этом переход к новому базису преобразует эту матрицу в матрицу , где Р - матрица перехода к новому базису, причем координаты новых базисных векторов в старом базисе образуют ее столбцы.
Векторному пространстве Rn могут принадлежать такие векторы Х, для которых действие линейного оператора с матрицей А равносильно умножению на число.
13.4. Если для данного вектора Х и данного линейного оператора с матрицей А найдется такое число, для которого выполняется условие , то такой вектор Х называют собственным вектором матрицы А, а число - ее собственным числом.
Если дана матрица линейного оператора А, то все собственные числа этой матрицы можно найти из матричного уравнения . В этом уравнении Е - единичная матрица, О - нулевой вектор. Оно равносильно однородной системе линейных уравнений, которая имеет ненулевое решение только в том случае, когда определитель системы равен нулю: . Это уравнение называют характеристическим уравнением матрицы (оператора).
Левая часть характеристического уравнения преобразуется в многочлен n-ой степени относительно неизвестного . Такое уравнение имеет ровно n корней среди которых могут быть или не быть вещественные корни. Если окажется, что все корни вещественные различные, то матрица имеет n различных вещественных собственных чисел.
Если матрица линейного оператора - симметрическая, то все ее собственные числа являются вещественными числами, а собственные векторы, соответствующие любым двум собственным числам ортогональны.
Если в качестве базиса можно выбрать собственные векторы, то переход к этому базису приведет матрицу линейного преобразования к диагональному виду:
,
где Р - матрица перехода к новому базису, столбцами которой являются собственные векторы, а i - их собственные числа.
Пример. Пусть линейный оператор задан матрицей .
Тогда характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид: или или .
Корни этого уравнения и являются собственными числами.
Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного числа.
Пусть , а собственный вектор для него ,
тогда или
Определитель этой однородной системы отличен от нуля, следовательно она имеет бесчисленное множество решений, например: x1=-u; x2=3u, где u - параметр. Следовательно собственному числу соответствует бесчисленное множество собственных векторов вида . Аналогичные вычисления приводят к определению собственных векторов для из системы
Получаем: x1=3v, x2=v, где v - параметр. Таким образом установили, что собственному числу соответствует бесчисленное множество собственных векторов вида .
Уравнение имеет единственное (нулевое) решение, следовательно векторы X1 и X2 линейно независимы.
Скалярное произведение векторов , следовательно X1 и X2 образуют ортогональный базис пространства R2.
Пусть собственные векторы X1 и X2 образуют теперь новый базис, тогда матрица перехода к новому базису будет иметь вид: . Обратная ей матрица и в новом базисе матрица будет иметь вид: .