ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ . Н . П . ОГАРЁВА »

Факультет электронной техники

Кафедра инфокоммуникационные технологии и системы связи

КУРСОВАЯ РАБОТА

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Автор курсовой работы ( подпись ) 28.12.2011 А.С. Арзубов

Специальность 210700 ИКТСС

Обозначение курсовой работы КР -02069964-210700-01-11

Руководитель работы

преподаватель ( подпись ) 28.12.2011 И.В.Маняев

Оценка:

Саранск

2011г

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

« МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ . Н . П . ОГАРЁВА »

Факультет электронной техники

Кафедра ИКТСС

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮРАБОТУ ( ПРОЕКТ )

Студент Арзубов А.С.

1 Тема Методы решения дифференциальных уравнений

2 Срок представления работы ( проекта ) к защите 29.12.2011

3 Содержание курсовой работы ( проекта )

3.1 Введение

3.2 Практическая часть

3.3 Заключение

Руководитель работы ( проекта ) 29.12.2011 г., И.В.Маняев

подпись, дата, инициалы, фамилия

Задание принял к исполнению ___________________________

дата, подпись

1. Введение.

Дифференциа́льное уравне́ние —уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные. Решить дифференциальное уравнение не просто. Есть большое число способов их решения.

1.1 Метод Эйлера.

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем)обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера для расчета дифференциальных уравнений имеет небольшую точность расчета. Т очность расчета у него зависит от размера шага линейно, зависимость точности от шага — первой степени. То есть, чтобы увеличить точность в 10 раз, надо уменьшить шаг в 10 раз. На практике интересуются более совершенными методами. Вопрос стоит так: можно ли увеличить точность на порядок, но при этом сэкономить на количестве вычислений? Да, такие методы есть. Модифицированный метод Эйлера имеет точность второго порядка. В методе Эйлера производная берется в начале шага и по ней прогнозируется движение системы на конец шага, считая, что во время шага производная неизменна. То есть в течение всего шага производная считается той, какой она была в самом начале шага. Это основной источник неточности. Улучшение метода состоит в том, что берется производная не в начале шага, а как промежуточное или среднее на разных участках одного шага. В разных вариантах метода вычисляют несколько производных в разных частях шага и усредняют их. Конечно, в этом случае число вычислений увеличивается, — но не в десятки раз, — а вот точность возрастает на порядок, в этом и состоит выигрыш.

• • Метод дихотомии.

Дихотомия - раздвоенность, последовательное деление на две части, не связанные между собой. Дихотомическое деление в математике, философии, логики и лингвистики, является способом образования взаимоисключающих подразделов одного понятия или термина и служит для образования классификации элементов. Дихотомическое деление привлекательно своей простотой. Действительно, при дихотомии мы всегда имеем дело лишь с двумя классами, которые исчерпывают объём делимого понятия. Таким образом, дихотомическое деление всегда соразмерно; члены деления исключают друг друга, так как каждый объект делимого множества попадает только в один из классов а или не а ; деление проводится по одному основанию — наличие или отсутствие некоторого признака. Обозначив делимое понятие буквой а и выделив в его объёме некоторый вид, скажем, b , можно разделить объём а на две части — b и не b . Д ихотомическое деление имеет недостаток: при елении объёма понятия на два противоречащих понятия каждый раз остаётся крайне неопределённой та его часть, к которой относится частица «не». Метод дихотомии несколько схож с метод бисекции , однако отличается от него критерием отбрасывания концов. Разобьём мысленно заданный отрезок пополам и возьмём две симметричные относительно центра точки x_1\! и x_2\! так, что:

\begin{array}{ccc}x_1 &=& \frac{a+b}{2}-\delta\\x_2 &=& \frac{a+b}{2}+\delta\end{array}\!,

где \delta\! — некоторое число в интервале \left(0,\;\frac{b-a}{2}\right)\!

Отбросим тот из концов изначального интервала, к которому ближе оказалась одна из двух вновь поставленных точек с максимальным значением (напомним, мы ищем минимум ), то есть:

• Еслиf(x_1)>f(x_2)\!, то берётся отрезок [x_1,\;b]\!, а отрезок [a,\;x_1]\!отбрасывается.

• Иначе берётся зеркальный относительно середины отрезок [a,\;x_2]\!, а отбрасывается [x_2,\;b]\!.

Процедура повторяется, пока не будет достигнута заданная точность, к примеру, пока длина отрезка не достигнет удвоенного значения заданной погрешности.

На каждой итерации приходится вычислять новые точки. Можно добиться того, чтобы на очередной итерации было необходимо высчитывать лишь одну новую точку, что заметно способствовало бы оптимизации процедуры.

• 1.3 Формула Симпсона.

Формула Симпсона относится к приемам численного интегрирования . Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона  (1710—1761).

Подынтегральную функцию приближенно заменяют параболами . Для этого отрезок , по которому ведется интегрирование, разбивают на пары отрезков, в каждой из которых по трем точкам строят многочлен второй степени. Проинтегрировав полином на каждой паре отрезков, просуммируем результаты и получим:

\sum_{i=1}^{n/2} {\int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}} {g_n(x)} dx} = {{b-a}\over{3n}}{ \left( f(a) + 4\sum_{k=1}^{n/2}{f(x_{2k-1})} + 2\sum_{k=1}^{n/2}{f(x_{2k})} + f(b) \right)}

n — число отрезков, f ( x )— интегрируемая функция, gn ( x )— аппроксимирующая функция (составленная из кусочков парабол), a , b — концы исходного отрезка. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 3.

Цель: выбрать наиболее понятный и легкий, на мой взгляд, метод решения.