Раздел Четырехполюсники и электрические фильтры.
Часть 1. Четырехполюсники. Основы теории четырехполюсников и
ЧАСТОТНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
Пассивные четырехполюсники.
Основные уравнения четырехполюсника.
П- и Т-образные схемы замещения четырехполюсника.
Соединения четырехполюсников.
Во многих случаях в силу сложности реальных электрических сетей и систем, их расчет при помощи рассмотренных выше методов затруднителен. Поэтому их разбивают на части с тем, чтобы анализируя каждую часть в отдельности упростить расчет всей системы в целом, и получить, в конечном счете, готовый ответ для всей системы.
Каждую составную часть системы называют многополюсником, характеризующегося уравнениями связи между его входными и выходными электрическими величинами ( обычно U, I ). При этом для исследования электрических цепей используют двух-, трех- и четырехполюсники.
Наибольшее распространение получили четырехполюсники, так как с помощью них моделируются как отдельные элементы, так и электрические системы в целом : ЛЭП, трансформаторы, фильтры, электронные устройства и т.д.
Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных зажима. На схемах представляется в виде рис.1.
Если в четырехполюснике есть источники электрической энергии, то он активный (А), если нет – пассивный (П).
К входным зажимам (m, n) обычно подсоединяются источники энергии, к выходным (p, q) – нагрузка. Все электрические величины отнесенные к входным зажимам снабжаются индексом 1 , а к выходным – индексом 2.
При выбранных направлениях входных и выходных напряжений и токов четырехполюсник является промежуточным звеном при передачи энергии от источника к нагрузке, которая включается между зажимами 2 и 2.
Выведем уравнения, связывающие между собой входные и выходные токи и напряжения пассивного четырехполюсника, воспользовавшись методом контурных токов. За I-контур примем контур, содержащий источник Е1 с напряжением U1 и током I1, а второй контур – цепь с нагрузкой, характеризующуюся напряжением U2 и током I2.
Согласно методу контурных токов, правая часть первого уравнения = +U1, а во втором контуре правая часть = -U2, поскольку ток всегда протекает через нагрузку (рис.3). Решение двухконтурной цепи определяется системой уравнений:
Отношения , … - имеют размерность проводимости с соответствующими индексами. Поскольку для линейного четырехполюсника 12=21, имеем Y12= Y21, в результате подстановки которых в систему (1) получаем уравнение четырехполюсника в Y-форме:
Из системы уравнений (2) выразим входное и выходное напряжение четырехполюсника
Получаем уравнение четырехполюсника через Z параметры (Z- форма), где
, , ,
.
Полученные соотношения (2) и (3) могут быть представлены в матричной или символической формах записи, т.е.
В матричной форме
Матрицы Z и Y называют, матрицей холостого хода и короткого замыкания, соответственно.
При рассмотрении четырехполюсника как звена цепи передачи сигнала используют форму уравнений через А-параметры (А-форма). Данная форма позволяет выразить входные величины напряжения U1 и тока I1 через выходные параметры четырехполюсника U2 и I2.
Здесь коэффициенты
В матричной форме записи:
, для которой выполняется условие AD – BC = 1.
Д ля доказательства симметричности четырехполюсника достаточно поменять местами его вход и выход, учитывая направление токов (рис.4), тогда получим:
Следовательно, при равенстве A=D, поведение четырехполюсника аналогично как со стороны зажимов 1-1, так и 2-2 и такой четырехполюсник называется симметричным. Данный вывод позволяет выделить три независимых параметра четырехполюсника
Таким образом, схемы замещения четырехполюсника должны иметь три связанных параметра минимум, из которых можно реализовать Т- и П-образные схемы замещения.
Р ассмотрим Т-образную схему рис.5. Для входного и выходного напряжений имеем:
.
Сопоставляя эти уравнения с Z-формой параметров четырехполюсника (3) получим условия их эквивалентности:
Z1+Z3 = Z11 Z1= Z11 Z3;
Z2+Z3 = Z22 Z2= Z22 Z3;
Z3 = Z12 =Z21 .
П-образная схема замещения. Аналогично параметры для П-образной схемы выразим по второму закону Кирхгофа, через Y-форму:
Сравним полученные выражения сравним с уравнениями четырехполюсника в Y- форме:
Откуда получаем выражения для П-образной схемы через Y-параметры