- •Дать определения определителей 2-го и 3-го порядков и рассказать об их основных свойствах. Примеры.
- •Дать определение матрицы. Транспонированная, нулевая, диагональная, единичная матрицы. Линейные операции над матрицами.
- •Дать определение обратной матрицы и доказать теорему об ее вычислении. Примеры.
- •Рассказать о решении систем линейных уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса. Примеры.
- •Дать определение ранга матрицы и сформулировать теорему об элементарных преобразованиях матрицы. Рассказать о нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований. Примеры.
- •Теорема о ранге матрицы. Решение однородных систем уравнений. Фундаментальная система решений. Примеры.
- •Дать определение размерности и базиса линейного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Канонический базис. Примеры.
- •Дать определение скаляра, вектора. Рассказать о линейных операциях над векторами и привести их основные свойства. Примеры.
- •Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Орт вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Разложение вектора по базису. Примеры.
- •Дать определение векторного произведения векторов. Рассказать об его физическом смысле и основных свойствах. Вывести выражение векторного произведения через координаты векторов. Примеры.
- •Вывести условие коллинеарности векторов. Рассказать о вычислении площади треугольника по координатам его вершин и о делении отрезка в заданном отношении. Примеры.
- •Дать определение смешанного произведения трех векторов. Сформулировать его основные свойства и рассказать о геометрическом смысле. Примеры.
- •Вывести уравнение плоскости в отрезках на координатных осях и уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Примеры.
- •Вывести уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую заданную нормаль. Общее уравнение плоскости и его исследования. Примеры.
- •Вывести формулу для нахождения угла между двумя плоскостями и условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Рассказать о нахождении расстояния от точки до плоскости. Примеры.
- •Вывести канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве и уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Примеры.
- •Рассказать о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости. Вывести формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью. Примеры.
- •Дать определение параболы и вывести ее каноническое уравнение. Провести исследование формы параболы по ее каноническому уравнению. Примеры.
- •Эллипс, гипербола, парабола как конические сечения. Общее определение кривых 2-го порядка.
- •Примеры неособых линейных преобразований (растяжение. Симметрия, поворот).
- •Рассказать о нахождении собственных значений и собственных векторов симметричных матриц. Примеры.
- •Доказать определение квадратичной формы. Рассказать о приведении ее к каноническому виду и об использовании квадратичных форм для исследования общего уравнения кривой 2-го порядка. Примеры.
- •Дать определение функции. Основные элементарные функции (степенные, показательные и логарифмические) и их графики.
- •Дать определение функции. Основные элементарные функции (тригонометрические и обратные тригонометрические). Графики.
- •Дать определение последовательности и ее предела. Рассказать о геометрической интерпретации понятия «предел последовательности».
- •58. Вывести правила дифференцирования постоянной, суммы, произведения. Примеры.
- •59. Вывести правила дифференцирования сложной функции. Примеры.
- •60. Рассказать о дифференцировании функций, заданных неявно и параметрически. Логарифмическое дифференцирование. Примеры.
Дать определения определителей 2-го и 3-го порядков и рассказать об их основных свойствах. Примеры.
Каждой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие единственное число, называемое ее определителем.
Свойства определителей:
При транспонировании величина определителя не изменяется.
|АТ|=|А|
При перестановке двух параллельных рядов определителя его знак изменяется на противоположный. Строки и столбцы определителя обычно называют одним словом ряды.
Если у определителя имеются два совпадающих параллельных ряда, то он равен нулю.
Если один из рядов определителя целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Определители одинакового порядка можно складывать поэлементно.
Для того чтобы умножить определитель на число, нужно все элементы некоторого ряда умножить на это число.
Минором Мij соответствующего элементам аij называется определитель, полученный из исходного путем вычеркивания i-строки и j-столбца.
Алгебраическим дополнением называется минор со знаком, т.е. Аij=(-1)i+jMij
Квадратная матрица называется выраженной или особой, если ее определитель равен нулю.
Сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на их алгебраические дополнения равна величине определителя.
Сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.
О действиях, не изменяющих величины определителя:
Если к некоторому ряду определителя прибавить параллельный ряд, умноженный на произвольное число, то величина определителя от этого не изменится.
Это свойство можно использовать для вычисления определителей третьего и более высоких порядков, делая с его помощью нулями все элементы, кроме одного в некотором ряде, а затем разлагаем определитель по этому порядку.
Дать определение матрицы. Транспонированная, нулевая, диагональная, единичная матрицы. Линейные операции над матрицами.
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел или других элементов.
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов называется квадратной.
АТ – транспонированная матрица, у которой строки и столбцы поменялись местами ( по сравнению с исходной)
Если все элементы матрицы равны 0, то матрица называется нулевой.
Квадратная матрица называется симметричной, если она совпадает со своим экспонентом.
Симметричная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме возможно стоящих на главной диагонали, равны 0.
Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы на главной диагонали равны 1.
Линейные операции над матрицами:
Для того чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент умножить на это число, отсюда в частности вытекает что общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.
Матрицы одинаковых размеров можно складывать поэлементно.
А+В=В+А;
(А+В)Т= АТ+ВТ;
К(А+В)=КА+КВ;
(КА)Т=К*АТ
Умножение матриц.
Для того чтобы умножить матрицу А на матрицу В нужно, чтобы число столбцов первого сомножителя совпадало с числом строк второго сомножителя. Умножение производится по правилу «строка-столбец».
Свойства операции умножения матрицы
А*В≠В*А
КА*В=К(А*В)
(А+В)*С=А*С+В*С
(А*В)Т=ВТ*АТ
Минор матрицы – любая матрица, полученная из исходной выделением производной строк и столбцов.