Многогранники

Многогранникомназывается совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).

Виды многогранников

Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников:

1. Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью (рис.6.1.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.1. Пирамида

2. Призма - многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис 6.2.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.2. Призма

3. Призматоид -многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований (рис.6.3.).

а) модель			б) эпюр
Рисунок 6.3. Призматоид

4.   Тела Платона. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называютправильными Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Тетраэдр - правильный четырехгранник (рис 6.4.). Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это правильная треугольная пирамида).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.4. Тетраэдр

Гексаэдр - правильный шестигранник (рис. 6.5.). Это куб состоящий из шести равных квадратов.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.5. Гексаэдр

Октаэдр - правильный восьмигранник (рис.6.6.). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.6. Октаэдр

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 6.7.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.7. Додекаэдр

Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.6.8.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.8. Икосаэдр

5.   Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Звездчатый октаэдр- восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру (рис. 6.9.). Это малые тетраэдры основания которые совпадают с гранями октаэдра. его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда.

Рисунок 6.9. Звездчатый октаэдр	Рисунок 6.10. Малый звездчатый додекаэдр

Малый звездчатый додекаэдр- (рис.6.10) звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуетсясредний звездчатый додекаэдр- звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения.

Лекция №6-2

Пересечение плоскости с многогранником

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о нахождении точки пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами искомого сечения.

Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела.

Дана призма и плоскость общего положения заданная двумя пересекающимися прямыми аив(рис.6.11). Необходимо найти сечение призмы данной плоскостью.

а) модель
б) эпюр
Рисунок 6.11. Пересечение плоскости общего положения с призмой

Решим поставленную задачу нахождением точек пересечения ребер призмы с плоскостью. Для чего, через горизонтальные проекции ребер проведем вспомогательные секущие плоскости α, βиγ.Построив линии пересечения вспомогательных плоскостей с заданной, находим на фронтальной проекции точки пересечения их с соответствующими ребрами призмыК₂,М₂иN₂– вершины фронтальной проекции сечения призмы. По линиям связи находим горизонтальные проекции этих точек. Полученные точки соединяем прямыми линиями, с учетом видимости. При решении вопроса о видимости сторон построенного сечения следует иметь в виду достаточно очевидное правило: точка и линия, лежащие на поверхности многогранника, видимы только в том случае, если они расположены на видимой грани.

 

Пересечение прямой линии с многогранником

Для определения точек пересечения прямой линии с многогранником, задача сводится к нахождению точек пересечения прямой с плоскостями граней (рис.6.12).

Алгоритм решения задачи: 1. Провести плоскость a: mÎa. 2. Построить сечение многогранника плоскостью a. Определить искомые точки К,М- пересечения полученного сечения с прямойm.
	а) модель		б) эпюр
Рисунок 6.12. Пересечение прямой линии с пирамидой

Взаимное пересечение многогранников

Построение линии взаимного пересечения многогранных поверхностей можно производить двумя способами, комбинируя их между собой или выбирая из них тот, который в зависимости от условий задания дает более простые построения. Эти способы следующие:

1.Определяют точки, в которых ребра одной из многогранных поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных многогранников. При этом можно соединять прямыми проекции лишь тех точек, полученных в процессе построения, которые лежат в одной и той же грани.

2. Определяют отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой (задача на пересечение двух плоскостей между собой); эти отрезки являются звеньями ломаной линии, получаемой при пересечении многогранных поверхностей.

Если проекция ребра одной из поверхностей не пересекает проекции грани другой хотя бы на одной из проекций, то данное ребро не пересекает этой грани. Однако пересечение проекций ребра и грани еще не означает, что ребро и грань пересекаются в пространстве.
а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.13. Пересечение пирамиды с призмой

На примере (рис.6.13) показано пересечение поверхности треугольной призмы с треугольной пирамидой. Построение основано на нахождении точек пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. На рисунке 6.13 б показано построение линии пересечения пирамиды АВСSи треугольной призмыDEFD*E*F*.

Для нахождения точек 1и 2в которых ребро пирамидыASпересекает граниDD*EE*иEE*FF*призмы, через проекцию ребраA₂S₂проведена фронтально проецирующая плоскостьα_П2, которая пересекает ребра призмы в  трех точках, горизонтальные проекции  этих точек пересечения плоскостиαс ребрами призмы, образуют треугольник. Проекция ребра пирамидыA₁S₁ пересекает полученный треугольник в точках1₁и2₁.

С помощью фронтально - проецирующей плоскости β, находим точки5 и6 пересечения ребра пирамидыSCс гранями призмыEE*FF*иEE*DD*, а при помощи горизонтально проецирующей плоскостиγнаходим точки3и4пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединив полученные точки, с учетом видимости, получим пространственную ломаную линию – линию пересечения данных многогранников.

Лекция №7-1

 

 

Кривые линии

 

Кривая линия- это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной.Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Рисунок 7.1 Циклоида

Например, (рис.7.1) циклоида– траектория движения точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Эта кривая состоит их ряда «арок», каждая из которых соответствует полному обороту окружности. Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными. Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Различны и способы задания кривых:

Аналитический– кривая задана математическим уравнением;

Графический– кривая задана визуально на носителе графической информации;

Табличный– кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Уравнением кривой линииназывается такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой.

В основу классификации кривых положена природа их уравнений.

Кривые подразделяются на алгебраическиеитрансцендентныев зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнениеf (xy)=0. Функцияf (xy) является степенным множителем относительно переменныхх иу; в остальных случаях кривая называется трансцендентной.

Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением п- й степени, называется алгебраической кривойп-го порядка.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию п-го порядка не более чем впточках.

Рассмотрим несколько примеров алгебраической кривой линии:

Рисунок 7.2.  Парабола	1. Парабола– кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках (рис.7.2). При этом парабола может быть определена как: -множество точек М(xy) плоскости, расстояниеFM которых до определенной точкиFэтой плоскости (фокуса параболы) равно расстояниюMNдо определенной прямойАN- директрисы параболы; -линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса; -в прямоугольной системе координат 0хус началом в вершине параболы и осью0хнаправленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид y2=2px, где р(фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы. 2. Гипербола: - множество точек Мплоскости (рис.7.3) разность (по абсолютной величине) расстоянийF1MиF2M которых до двух определенных точекF1иF2этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна: F1M - F2M=2а<2с Середина 0отрезкаF1F2 (фокусного расстояния) называется центром гиперболы; - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости; - в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре гиперболы, на оси0хкоторой лежат фокусы гиперболы уравнение гиперболы имеет так называемый канонический х2/а2 - у2/в2=1, в2=с2 - а2, где аивдлинны полуосей гиперболы. 3. Эллипс: - множество точек Мплоскости (рис.7.4), сумма расстоянийМF1иМF2которых до двух определенных точекF1иF2(фокусов эллипса) постоянна МF1+МF2=2а. Середина 0 отрезкаF1F2(фокусного расстояния)называется центром эллипса; - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса; - в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре эллипса, на оси0хкоторой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид х2/а2+у2/в2=1, где аив- длинны большой и малой полуосей эллипса. Приа=вфокусыF1иF2совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса. Рассмотренные плоские кривые линии, получаемые при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, называют кривыми конических сечений.
Рисунок 8.3. Гипербола
Рисунок 7.4. Эллипс
Рисунок 7.5. Синусоида

Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин и т.п. 

Синусоида- трансцендентная плоская кривая линия (рис.7.5), получающаяся в результате двойного равномерного движения точки - поступательного и возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном первому.

Синусоида - график функции у=sin x, непрерывная кривая линия с периодомТ=2п.

Наряду с этим у трансцендентных кривых могут быть характерные точки, которых не существует у алгебраических кривых: точки прекращения, угловые точки (точки излома), асимптотические точки. Простейшими примерами трансцендентных кривых служат графики функций логарифмической, показательной тригонометрической, а также все спирали, циклоиды и т.п.

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.

Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае, как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.

Особый интерес представляют окружность и цилиндрическая винтовая линии, каждая из которых является эталоном соответственно плоских и пространственных кривых линий.

В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек. Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства - пространственная. Точки стыка дуг называются узлами. Обвод заданный координатами своих точек называется дискретным. Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные.

Рисунок 7.6. Касательные к кривой линии

Плоская кривая апостроена в плоскостиa (рис.7.6). Через точкуАпроведены секущие хордыАЕиАD. Если точкуЕприближать к точкеА, секущаяАЕповорачивается вокруг точкиА.Когда точкаЕсовпадет с точкойА(А≡Е) секущаяАЕдостигнет своего предельного положенияt. В этом предельном положении секущая называется полукасательной к кривойав точкеА. СекущаяАDв предельном положенииА≡Dтакже представлена полукасательнойt. Кривая линия в точке Аимеет две полукасательные прямые, которые совпадают и определяют одну касательную к кривой линии в точкеА– кривая в этой точке называется плавной. Кривая плавная во всех её точках называется плавной кривой линией. Нормалью пв точкеАкривой линии называется перпендикуляр к касательной.

На кривой линии могут быть точки где разнонаправленные полукасательные не принадлежат одной прямой, а составляют между собой угол. Так на кривой ав точкеВуголδмежду полукасательными не равен 180⁰. ТочкаВв этом случае называется точкой излома или выпадающей точкой.

Рисунок 7.7. Кривая линия как траектория движения точки

Плоскую кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки в плоскости (рис.8.7); точка движется по касательной к кривой линии, обкатывая эту кривую без скольжения. Движение точки вдоль кривой асвязано с непрерывным изменением двух величин: расстоянияS, на которое удалена точка от начального положения и угла αповорота касательной относительно начального положения. Если с увеличением пути Sнепрерывно увеличивается иα, кривая называется простой. Угол α(угол смежности) между касательными в двух бесконечно близких точках кривой, отнесенный к длине дуги между этими точками, определяет степень искривленности кривой линии, т.е. определяет кривизнукривой.

, предел отношения угла смежности касательных к соответствующей дуге.

Рисунок 7.8. Кривизна кривой

Кривизна прямой в любой её точке равна нулю. Кривизна произвольной кривой линии в различных точках различна, в отдельных точках она может быть равна нулю. Такие точки называются точками спрямления. Кривизна в каждой из точек плоской кривой аопределяется с помощью соприкасающейся в этой точке окружности (рис.7.8). Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны в данной точке называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки. Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривойв данной точке, а радиус такой окружности –радиусом кривизны кривой линиив данной точке. Множество центров кривизны кривой является кривая линия- её называют эволютойданной кривой, а кривая по отношению к своей эволюте называетсяэвольвентой.

Лекция №7-2

 

Свойства ортогональных проекций кривой линии

1. Проекцией кривой линии является кривая линия;

2. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к её проекции;

3. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку её проекции;

4. Порядок линии – проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой или меньше;

5. Число узловых точек ( в которых кривая пересекает сама себя) проекции равно числу узловых точек самой кривой.

Случаи когда, плоская кривая проецируется в прямую (свойства 1,4,5), а касательная в точку (свойство 2) не учитываются.

Пространственные кривые линии

Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траекторию движения точки.

Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.

Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.