- •Экзаменационные билеты (і семестр)
- •Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Высказывания. Логические операции над выше названными.
- •Факториал. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Формулы сокращенного умножения: (a±b) 3, a±b3
- •Для определение Обратной матрицы необходимо
- •Решение систем методом Гаусса
- •39. Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхность уровня. Предел и непрерывность фнп.
- •40. Частные произведения 1-го порядка фнп. Полный дифференциал фнп. Частные произведение высших порядков фнп.
Экзаменационные билеты (і семестр)
Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Высказывания. Логические операции над выше названными.
Ответ: Множество-первичное неопределяемое понятие, характеризуется как набор элементов обладающих одинаковым свойством.
Операции над множеством
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В.
Разностью множеств А,В-множеств, состоящее из всех тех элементов которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Основные числовые множества
Множество всех натуральных, целых, рациональных(это множество
всех обыкновенных дробей), иррациональных(это множество
всех бесконечных десятичных непериодических дробей) ,действительных и комплексных чисел.
Высказывания
Простое высказывание- повествовательное предложение, в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно. Взыскания обозначаются А,В,С,..,….
Если А-истинное высказывание то его значение –«И», если ложное то –«Л».
Логические операции над выше названными
Сложные высказывания получают из простых при помощи логических операций, к которым относятся отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (эквиваленция).
Конъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания истинны.
Дизъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания ложны.
Импликация высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно.
Эквивалентность двух высказываний А, В определяется
как высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда
высказывания А, В оба истинны или оба ложны.
Факториал. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Формулы сокращенного умножения: (a±b) 3, a±b3
Ответ :Факториал- произведение натуральных чисел от единицы до какого-нибудь данного натурального числа n, т.е. , обозначается n!.
Метод математической индукция.
Бином Ньютона
Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона
Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется треугольником Паскаля. Все строки начинаются и заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:
Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:
1) в разложении двучлена (a + b)n по формуле Ньютона содержится n + 1 член;
2) в разложении (a + b)n показатель степени а убывает от n 0, а показатель степени b возрастает от 0 до n;
3) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;
4) биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;
5) сумма биномиальных коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n;
6) сумма биномиальных коэффициентов членов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на
нечетных местах, и равна 2n-1.
Формулы сокращенного умножения: (a±b) 3, a3 ± b3
(a±b) 3= a3 ± 3a2b + 3ab2±b3(куб суммы)
a3 ± b3 =(a ± b)( a2 ± ab + b2)( сумма кубов;)
Многочлены. Корни многочлена. Теорема Безу.
Выражение вида
называется многочленом n-й степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде.
Теорема Безу. Если уравнение а0хn + a1xn-1+ … + an-1x+an = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.
Рациональные дроби. Разложение на сумму простейших дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
Рациональной дробью называется выражение вида, где многочлены степени n и m соответственно и
Если для рациональной дроби выполняется n . m, то дробь называется неправильной, если n < m – дробь называется правильной.
Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей:
Разложение на сумму простейших дробей
1. необходимо выделить целую часть делением многочлена на многочлен
2.Разложить на множители
3. Если разложение знаменателя имеет вид , то дробь
можно представить в виде суммы простейших дробей
4.Для нахождения коэффициентов привести правую часть равенства к общему знаменателю, который будет равен знаменателю исходной дроби
5.Приравнять числители дробей.
6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов A1;A2; ... и т. д. Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы:
а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены влевой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя;
б) метод частных значений: придать произвольные значения переменной х (удобнее использовать значения x = a; x = b и т. д.) и получить равенства для исходных коэффициентов;
7)Подставить полученные числовые значения коэффициентов в равенство , что и будет искомые разложением
Метод неопределенных коэффициентов-
метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций Понятие комплексного числа, и арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Понятие комплексного числа, и арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Тригонометрическая форма комплексного числа, действия над числами в тригонометрической форме. Показательная форма комплексного числа.
Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + b·i выражаются через модуль r и аргумент φ формулами Это так называемая, нормальная тригонометрическая форма, или просто, тригонометрическая форма комплексного числа.
В противоположность тригонометрической форме выражение вида a + b·i называется алгебраической или координатной формой комплексного числа.
Понятие матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами. Транспонирование и умножение матриц.
Матрица - это таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов, заполненная элементами. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n x n называют матрицей n-го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной
Сложение матриц.- Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В,
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Перемножение матриц.
Матрицы бывают нескольких видов
1)Прямоугольная
2) Квадратная-это матрица равная с количеством строк и столбцов
3)Нулевая-это матрица которые все элементы равны нулю
4)Диагональная-это квадратная матрица у которой все элементы не стоящие на главной диагонали равны нулю
5)Единичная – это Диагональная матрица у которой каждые элемент главной диагонали равен единице
6)Треугольная -это квадратная матрица у которой все элементы расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю
7)Матрица столбец
Определители 2-го, 3-го порядка, их свойства, способы вычисления.
Пусть задана квадратная таблица из 4-х чисел:
, -элементы определителя
Число называется определителем 2-го порядка
Определителем3-го порядка, вычисляется по правилу треугольника
* * * * * *
* * * * * *
* * * * * *
Минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со своим или противоположным знаком по следующему правилу:
Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если не четная- с противоположным.
Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица.
Обратная матрица.-это такая матрица A−1,которая при умножении на исходную матрицу A которая получает результат в единичной матрице. А также обратная матрица может существовать только в квадратной матрице