1) Способы проецирования

При помощи чертежей, то есть при помощи изображений на плоскости, изучаются пространственные формы предметов и соответствующие геометрические закономерности. Разработкой способов построения чертежей занимается начертательная геометрия. Её предметом является также изучение способов решения и исследования пространственных задач. Поэтому к чертежам предъявляется ряд требований, наиболее существен­ными из которых являются следующие:

1)Чертёж должен быть наглядным, т.е. он должен давать пространственное представление изображаемого предмета.

2)Чертёж должен быть обратимым, т.е. таким, чтобы по нему можно было точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета.

3)Чертёж должен быть достаточно простым с точки зрения его графического выполнения.

4)Графические операции, выполняемые на чертеже, должны давать достаточно точные решения.

Центральное проецирование

Пусть имеем в пространстве плоскость ′, которую будем называть плос­костью проекций (рисунок 1). Выберем некоторую точку S, не лежащую на плоско­сти проекций. Эту точку будем называть центром проецирования.

Р исунок 1 - Центральное проецирование

Для проецирования точки А пространства на плоскость ' надо провести через эту точку и центр проекций S прямую. Такая прямая называется проеци­рующей прямой. Находим затем точку пересечения проецирующей прямой SA с плоскостью проекций ′. Полученную точку пересечения А′ будем называть центральной проекцией данной точки А на плоскость П'.

В том случае, если точка А совпадает с центром проекций S, становится неопределённой не только проецирующая прямая, но и проекция точки на плоскость П ′.

Таким образом, центр проекций S является исключительной точкой, не имеющей проекций.

Центральной проекцией прямой линии является прямая линия. Пусть тре­буется спроецировать центрально данную прямую АВ в соответствии с рисунком 1. Проецирующие прямые SA и SB определяют на плоскости П′ проекции А′ и В′ соответственно точек А и В. Для любой другой точки Е прямой АВ проецирующая прямая SЕ опре­деляет проекцию Е′. Все проецирующие прямые лежат в одной и той же (проецирующей) плоскости SAB. Поэтому все проекции точек данной прямой лежат на линии пересечения проецирующей плоскости SAB с плоскостью про­екций П′_.

Если данная прямая проходит через центр проекций S, т.е. сама является проецирующей линией, то она проецируется на плоскость П′ в виде точки . Так, все точки прямой SA (рисунок 1) проецируются на плоскость П′ в одну и ту же точку А′. Например, точка С прямой SA даёт проекцию С′, совпадающую с А′.

Для построения проекций прямой линии достаточно построить проекции двух её точек. Это показывает, что для построения проекций фигуры не всегда необходимо проецировать все её точки. Например, для определения проекции треугольника достаточно построить проекции трёх его вершин.

Изображение предметов при помощи центрального проецирования от­личается большой наглядностью. Объясняется это устройством зрительного ап­парата человека, который с некоторым приближением можно считать работаю­щим по принципу центрального проецирования.

Параллельное проецирование

1. П рямые, параллельные в пространстве (в общем случае) проецируются в виде прямых, параллельных на плоскости проекций П′.

2. Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, со­храняется в параллельной проекции.

3. Отношение проекции отрезка А'В' к натуральному отрезку постоянно для всех параллельных между собой отрезков.

2) Комплексным чертежом называется чертёж, состоящий из нескольких связанных между собой проекций изображаемой фигуры. Метод комплексного чертежа в ортогональных проекциях называется также методом Монжа.

Этот метод прост в построении и даёт большую точность при графическом решении задач. Он обеспечивает точное определение изображённой фигуры по чертежу. Недостатком метода является малая наглядность изображений.

Комплексный чертёж из двух проекций называется также двухкартинным чертежом.

Рассмотрим неподвижную систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей П₁ и П₂ в соответствии с рисунком 6. Плоскость П₁, расположенная горизонтально, называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П₂, перпендикулярная к П₁, занимает вертикальное положение и расположена перед наблюдателем. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций. На обе эти плоскости будем проецировать ортогонально точки пространства.

Предположим, что в пространстве имеется некоторая точка А. Ортого­нальную проекцию А₁ точки А на плоскость П₁ будем называть горизонтальной проекцией точки А, а ортогональную проекцию А₂ точки А на плоскость П₂ -фронтальной проекцией точки А. Прямые АА₁ и АА₂, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций (AА₁П₁, AА₂П₂), называются проецирующими прямыми (AА₁ - горизонтально проецирующая прямая, АА₂ -фронтально проецирующая прямая). Прямая пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Её обозначают буквой X.

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проеци­рующей плоскостью (плоскость, перпендикулярная к плоскости П₁, называется горизонтально проецирующей плоскостью, а плоскость, перпендикулярная к плоскости П₂, - фронтально проецирующей плоскостью).

Плоскость АА₁А₂ проходит через прямую АА₁, перпендикулярную к плоскости П₁, в силу чего она перпендикулярна к плоскости П₁. Аналогично плоскость АА₁А₂ перпендикулярна плоскости П₂. Следовательно, дважды про­ецирующая плоскость АА₁А₂ перпендикулярна к оси проекций X.

Точку пересечения плоскости АА₁А₂ с осью проекций х как точку, при­надлежащую одновременно обеим плоскостям П₁ и П₂, обозначим А₁₂. Прямые A₁₂А₁ и А₁₂А₂, лежащие в плоскости АА₁А₂, перпендикулярной к оси проекций х, перпендикулярны к этой оси. Обратно, пусть А₁₂ - произвольная точка оси проекций х. Восставим из точки А₁₂ к оси два перпендикуляра: один в плоскости П₁, другой в плоскости П₂. Т огда каждая пара точек А₁ и А₂, лежащих на этих перпендикулярах, оп­ределит в пространстве единственную точку А. Действительно, две пересекаю­щиеся прямые А₁₂А₁ и А₁₂А₂ определяют плоскость А₁А₁₂А₂, перпенди­кулярную к оси проекций х (так как А₁₂А₁х и А₁₂А₂х). Но плоскость, пер­пендикулярная к линии х пересечения двух плоскостей П1 и П₂, перпенди­кулярна к каждой из этих плоскостей, т.е. плоскость А₁А₁₂А₂ является проеци­рующей по отношению к обеим плоскостям проекций. Следовательно, перпен­дикуляры, восставленные в точках А₁ и А₂ соответственно к плоскостям П₁ и П₂, лежат в одной плоскости (в плоскости А₁А₁₂А₂). Точка А их пересечения и является искомой точкой пространства, определяемой данной парой точек Итак, каждой точке А соответствует пара её проекций А₁ и А₂, лежащих вместе с данной точкой А в одной плоскости, перпендикулярной к обеим плос­костям проекций П₁ и П₂, а следовательно, и к линии х их пересечения; обрат­но, любые две точки А₁П₁ и А₂П₂, лежащие в одной плоскости, перпенди­кулярной к оси х, определяют в пространстве единственную точку А.

Расстояние А₁А точки А от горизонтальной плоскости проекций называ­ется высотой точки А, а её расстояние А₂А от фронтальной плоскости проекций - глубиной точки А.

Для получения плоского чертежа совмещаем плоскость проекций П₁ с плоскостью П₂ путем вращения плоскости П₁ вокруг оси X в направлении, ука­занном на рисунке 6 стрелками, так, чтобы передняя полуплоскость П₁ совмести­лась с нижней полуплоскостью П₂. В результате получим комплексный чертёж точки А (рисунок 7), состоящий из двух проекций А₁ и А₂ точки А. Обе проекции А₁ и А₂ лежат на одном перпендикуляре к оси проекций х, которую как прямую, принадлежащую одновременно обеим плоскостям проекций П₁ и П₂, будем обозначать на комплексном чертеже х₁₂. Два перпендикуляра А₁₂А₁ и А₁₂А₂ к оси х₁₂ имеют общую точку А₁₂. Прямая А₁А₂, соединяющая две проек­ции точки на комплексном чертеже, называется линией связи. Линия связи двух проекций точки перпендикулярна к оси проекций.

3

4)

5)Изображение плоскости на комплексном чертеже

Плоскость можно задать:

- тремя точками, не лежащими на одной прямой;

- прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

- двумя пересекающимися прямыми;

- двумя параллельными прямыми;

- отсеком.

Наиболее наглядным является задание плоскости отсеком. Простейшим из отсеков является треугольник.

Как и в случае с прямыми линиями различают плоскости общего и частного положения. Плоскости, наклонённые ко всем плоскостям проекций, называются плоскостями общего положения (например, плоскость  на рисунке 31). Плоскости, перпендикулярные либо параллельные плоскости проекций, называются плоскостями частного положения (в соответствии с рисунком 31 это плоскости , , , Г, Ф, Р).

По аналогии с прямыми линиями плоскости частного положения разделяются на проецирующие плоскости, т.е. перпендикулярные плоскости проекций (плоскости , ,  на рисунке 31) и плоскости уровня – параллельные плоскости проекций (плоскости Г, Ф, Р).

Плоскость общего положения, как и прямая общего положения, может быть восходящей и нисходящей. На комплексном чертеже проекции восходящей плоскости ориентированы одинаково, а нисходящей – противоположно. Изображение нисходящей плоскости соответствует рисунку

6) Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Поскольку ортогональная проекция является частным случаем параллельной, то очевидно, что ортогональной проекцией окружности будет тоже эллипс. Так, проецируя окружность, расположенную в плоскости  с центром в точке D, ортогонально на плоскость П, получим эллипс с центром в точке D

Р ассмотрим в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD, причём АВ проходит по прямой уровня плоскости  (по прямой h), т.е. АВ//П. Следовательно, АВ=АВ=d, где d – диаметр окружности. Диаметр CD как перпендикулярный к АВ, являющийся линией уровня плоскости , называется также линией наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций П. Такое название объясняется тем, что среди различных прямых плоскости  линия наибольшего наклона CD, перпендикулярная к линии уровня АВ, образует наибольший угол с плоскостью проекций П.

Рисунок 43 – Ортогональная проекция окружности

Угол , образованный диаметром окружности CD и диаметром эллипса CD как проекцией CD, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости  к плоскости П. Тогда CD=CD·cos, но CD=АВ=d, следовательно CD=d·cos. Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряжённости (каждый сопряжённый диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), это свойство при параллельном проецировании сохраняется, следовательно, диаметры АВ и CD будут сопряжёнными диаметрами эллипса. Но с другой стороны, эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плоскости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причём АВ – большая ось, CD – малая ось.

Если провести какую-нибудь прямую n, перпендикулярную к плоскости  в соответствии с рисунком 2.19, то такая прямая будет перпендикулярна ко всякой прямой плоскости , в частности, будет перпендикулярна к диаметру АВ//П. Поэтому её ортогональная проекция n на плоскость П окажется прямой, перпендикулярной к проекции АВ диаметра АВ. Иначе говоря, проекция прямой, перпендикулярной к плоскости , параллельна малой оси эллипса.

Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, плоскость  которой составляет угол  с плоскостью проекций, параллельна проекции линии уровня плоскости  и равна диаметру окружности, а малая ось параллельна проекции перпендикуляра к плоскости  и равна d·cos.

7,10) Если точка принадлежит плоскости в пространстве, то проекции этой точки принадлежат соответствующим проекциям какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости (в соответствии с рисунком 32 прямая АВ и принадлежащая ей точка 1; прямая ВС и принадлежащая ей точка 2). В данном примере и точка М принадлежит плоскости треугольника АВС, т.к. точка М расположена на прямой А-2, лежащей в плоскости треугольника. При этом следует отметить, что плоскость безгранична, поэтому некоторые построения могут выходить за пределы треугольника.

Прямая А-2 является фронталью плоскости треугольника АВС (горизонтальная проекция этой прямой А₁2₁Dвоображаемой оси проекций х₁₂). Точка К принадлежит данной фронтали (К₁f₁ и К₂f₂) и, следовательно, принадлежит плоскости треугольника АВС. Как видно, точка К принадлежит и прямой С-1 данного треугольника. Эта прямая является горизонталью (фронтальная проекция прямой С₂1₂Dвоображаемой оси х₁₂).

Очевидно, через каждую точку плоскости можно провести одну горизонталь и одну фронталь, лежащие в этой плоскости

8) Начертательная геометрия пользуется преимущественно кинематическим способом образования поверхностей. Это означает, что поверхность образуется непрерывным перемещением линии (образующей) в пространстве по определённому закону. Тогда и сама поверхность будет непрерывной. Образующая может или сохранять свою форму при изменении положения, или непрерывно изменять и форму, и положение в пространстве.

Принадлежность поверхности некоторому классу описывается такими элементами, которые однозначно определяют её форму и размеры.

Совокупность элементов поверхности (параметров), выделяющих данную поверхность из всего класса поверхностей, к которому она принадлежит, будем называть определителем поверхности.

Например, конус вращения полностью задаётся осью и образующей в соответствии с рисунком 45. Поэтому определитель конической поверхности  будет записан так: (i,l).

Задание оси i и образующей l конуса вращения позволяет построить этот конус. На нём можно провести любую другую прямолинейную образующую (l¹,l²,…) или окружность (q,m) поверхности, а также отметить произвольную её точку (М). Заметим, что этот способ задания конуса не является единственным.

Исходя из определителя поверхности конуса вращения, для задания конуса на чертеже достаточно задать проекции элементов определителя: i(l₁,i₂) и l(l₁,l₂) в соответствии с рисунком 46. Такой способ графического задания поверхности является метрически определённым и позволяет решать любые задачи на поверхности, а также её реконструировать. Закон перемещения в пространстве кривой (образующей), описывающий поверхность, удобно задавать некоторыми неподвижными кривыми, по которым скользит движущаяся образующая. Эти кривые, называемые направляющими линиями, часто входят в состав определителя поверхности.

Таким образом, на любой кинематической поверхности можно выделить два семейства кривых линий: семейство образующих (l) и семейство направляющих (m), каждое из которых покрывает всю поверхность и состоит из каких-либо линий (плоских или пространственных) в соответствии с рисунком 47.

Если поменять местами образующие и направляющие, т.е. принять m за образующие, а l – за направляющие, то в результате получится та же поверхность .

Из кривых l¹,l²… и m¹,m²…, принадлежащих к указанным двум семействам линий, может быть составлен каркас кинематической поверхности.

Если учесть непрерывность перемещения образующей, а, следовательно, и непрерывность самой поверхности, то можно сделать очень важный для теории кинематических поверхностей вывод о том, что через любую точку поверхности можно провести пару кривых, принадлежащих двум различным семействам линий на поверхности.

Простейшей и основной задачей, входящей в виде элемента в решение любой более сложной задачи, является построение проекций точки, принадлежащей поверхности.