Введение

Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе. Например, число 01 обозначает единицу, 10 — десять.

Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.

Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1. Обратите внимание, что в двоичной системе максимальная цифра 1.

Программисты для вычислений также пользуются ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Количество цифр используемых в системе счисления называется её «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе - двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной - соответственно, восьми и шестнадцати. То есть в р-ичной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р-1.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (a_na_{n − 1}...a₀)_f, где a₀,a₁,...,a_n — цифры, а f — основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f — можно опустить.

Примеры чисел:

• 11001₂ — число в двоичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 0,a₂ = 0,a₃ = 1,a₄ = 1;

• 221₃ — число в троичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 2,a₂ = 2;

• 31₈ — число в восьмеричной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 3;

• 25₁₀ — число в десятичной системе счисления, a₀ = 5,a₁ = 2;

12.2Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	8	64	512	4096	32768	262144

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число   перевести в двоичную систему счисления.

 

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

 

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

12.3Арифметические операции в двоичной системе счисления

       Из всех позиционных систем особенно проста двоичная система счисления. Рассмотрим выполнение основных арифметических действий над двоичными числами. 

     Все позиционные системы счисления "одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

• справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный;

• справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;

• правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Сложение

 

Рассмотрим примеры на сложение. 

     При сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе счисления, как в любой позиционной системе, в следующий разряд может переходить только единица.

     Результат сложения двух положительных чисел имеет либо столько же цифр, сколько у максимального из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица.

Вычитание

 

     Рассмотрим примеры  на вычитание.        При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак. Умножение       Рассмотрим примеры  на умножение.      Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Рассмотрим примеры  на умножение.      При выполнении умножения в примере 2 складываются три единицы 1+1+1=11 в соответствующем разряде пишется 1, а другая единица переносится в старший разряд. В двоичной системе счисления операция умножения сводится к сдвигам множимого и сложению промежуточных результатов. Деление      Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.      Рассмотрим примеры на деление

12.4 1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЭВМ. ПОКОЛЕНИЯ ЭВМ

Создано 4 поколения ЭВМ:

1. 1946 г. создание машины ЭНИАК на электронных лампах. Запоминающие устройства (ЗУ) были построены на электронных. лампах, электронно - лучевых трубках (ЭЛТ) и линиях задержки.

2. 60-е годы. ЭВМ построены на транзисторах, ЗУ на транзисторах, линиях задержки и ферритовых сердечниках.

3. 70-е годы. ЭВМ построены на интегральных микросхемах (ИМС). ЗУ на ИМС.

4. Начало создаваться с 1971 г. с изобретением микропроцессора (МП). Построены на основе больших интегральных схем (БИС) и сверх БИС (СБИС).

Пятое поколение ЭВМ строится по принципу человеческого мозга, управляется голосом, используется новая технология на основе арсенида галлия.

ЭВМ предназначены для обработки информации и отображения результатов обработки. Для решения задачи должна быть написана программа.

Во время решения задачи программа и операнды (числа, над которыми производится операции) находятся в оперативной памяти (ОЗУ). Быстродействие ОЗУ соизмеримо с быстродействием АЛУ. В процессе решения задачи АЛУ постоянно взаимодействует с ОЗУ, передавая в ОЗУ промежуточные и конечные результаты и получая из ОЗУ операнды действия всех частей ЭВМ при решении задачи осуществляется под воздействием управляющих сигналов, вырабатываемых устройством управления в соответствии с программой, записанной в ОЗУ.

ПЗУ предназначено для хранения стандартных программ, таких как sin и cos, констант СИМВОЛ 112 \f "Symbol" , е.

Существует еще сверх ОЗУ (СОЗУ), которое обладает малым объемом и высоким быстродействием. СОЗУ применяется для кратковременного хранения операндов и промежуточных результатов.

Качество ЭВМ определяется: объемом ОЗУ (т.е. количеством одновременно хранимых в ОЗУ двоичных слов); быстродействием, определяемым количеством операций в сек. После выполнения задачи, программа и результаты через устройство вывода записываются во внешнее ЗУ. В качестве внешних ЗУ используются магнитная лента, гибкий магнитный диск, магнитный барабан, перфолента, перфокарты. Программа вводится в ОЗУ с внешних ЗУ или с клавиатуры через устройство ввода.