Уравнение Шредингера
Для описания движения частиц в силовых полях необходимое уравнение, аналогичное уравнению Даламбера в волновой оптике. "Сконструируем" это уравнение для свободной микрочастицы, у которой связь между энергией и импульсом определяется ньютоновским (нерелятивистским) соотношением
.
(1.38)
Используя дебройлевское соотношение (1.1), получим для свободной частицы закон дисперсии
.
(1.39)
Дифференцируя волновую функцию (1.7) по времени и координатам, получаем
и
.
(1.40)
Подставив (1.40) в (1.39), получаем уравнение
.
(1.41)
Последнее
легко „обобщается” на случай движения
частицы в потенциальном поле
.
(1.42)
Это есть уравнение Шредингера, которое можно представить в операторной форме, воспользовавшись выражением (1.37)
.
(1.43)
Уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике. В математическом плане оно принадлежит к дифференциальным уравнениям второго порядка в частных производных. Уравнение Шредингера можно рассматривать как обобщенное уравнение выравнивания (диффузии). Но поскольку правая часть мнимая, то решения уравнения Шредингера в отличие от уравнения диффузии могут быть периодическими.
В общем случае справедливость уравнения Шредингера подтверждается опытом.
В последующем нас будут интересовать внешние поля, которые не зависят от времени. В таких полях энергия системы сохраняется (имеет определенное значение), и состояния системы называются стационарными. Они описываются волновыми функциями , которые являются собственными функциями оператора Гамильтона
.
(1.44)
Это есть уравнение Шредингера для стационарных состояний. Используя (1.43), можно записать
.
(1.45)
Применяя к последнему уравнению метод разделения переменных, получим решение в таком виде
,
(1.46)
где
–
координатная волновая функция.
Распределение плотности вероятности определяется выражением
,
(1.47)
и, как видно, в стационарном состоянии не зависит от времени.
Можно показать, что оператор какой-нибудь величины, которая сохраняется, коммутирует с гамильтонианом. Это означает, что какая-нибудь физическая величина, которая сохраняется, может быть измерена одновременно с энергией.
Для частицы, которая находится во внешнем поле, уравнение для стационарных состояний будет иметь вид
.
(1.48)
Уравнение (1.48) называют также амплитудным уравнением Шредингера.
Закон сохранения числа микрочастиц
Получим из уравнения Шредингера закон сохранения числа частиц. Запишем уравнение Шредингера и комплексно сопряженное ему
Первое
умножим на
,
второе на
и отнимем одно от другого
.
Перепишем это выражение таким образом
.
(1.49)
Воспользуемся
понятиям вектора плотности потока
вероятности
(квантовый аналог классического вектора
плотности потока частиц) и плотности
вероятности
,
(1.50)
.
(1.51)
В этом случае из (1.49) получим уравнение непрерывности
.
(1.52)
Таким образом, уравнение (1.52) является законом сохранения числа частиц.
Если
умножить
на массу частицы
,
то получим закон сохранения массы
,
(1.53)
то есть изменение массы в бесконечно малой области обусловлено натеканием или вытеканием этой массы через поверхность, которая ограничивает эту область.
Аналогичное выражение можно получить для закона сохранения заряда, если умножить (1.52) на заряд
,
(1.54)
где
,
.
(1.55)