Глава 1. Метод решения нелинейного уравнения методом секущих
1.1. Общая характеристика методов
1. Условие задания
При заданных пяти вариантах допустимой ошибки e заданным численным методом
вычислить приближенное значение корня функционального уравнения вида f (x)
= 0, если известно, что это уравнение имеет единственный корень на отрезке
[a, b].
В проекте должно быть предусмотрено:
- построение графика функции f (x) на отрезке [a, b],
- проверка корректности введенных значений исходных данных (выполнение
условия a < b, выполнение условия e > 0),
- перехват и обработка ошибки времени выполнения, когда строку введенных
символов невозможно интерпретировать как число.
2. Содержание пояснительной записки
Пояснительная записка должна иметь титульный лист, оглавление, нумерацию
страниц, а также включать:
0x01 graphic
условие задачи;
0x01 graphic
условия заданного варианта задания;
0x01 graphic
описание заданного численного метода;
0x01 graphic
блок-схему алгоритма подзадачи вычисления корня;
0x01 graphic
программу процедуры вычисления корня;
0x01 graphic
главную программу;
0x01 graphic
результаты вычислений значения корня для заданных пяти вариантов
допустимой ошибки
Варианты численного метода:
1) метод простых итераций,
2) метод Ньютона,
3) метод проб,
4) Метод секущих,
5) метод хорд.
Упрощенный метод Ньютона: 0x01 graphic
, n=0,1,…
Метод ложного положения: 0x01 graphic
, n=0,1,…;
c - фиксированная точка из окрестности корня
Метод секущих: 0x01 graphic
, n=0,1,…
Метод Стеффенсена: 0x01 graphic
, n=0,1,…
3. Описание Метод секущих
Метод секущих, так же, как и метод проб, использует не одно, а два
начальных приближения, которые мы обозначим соответственно x[n1] и x[n2].
Перед выполнением первой итерации воспользуемся правилом (6) для
определения значений этих приближений.
При выполнении каждой очередной итерации для вычисления следующего
приближения по методу хорд проведем прямую линию (секущую) MN через точки
с координатами (x[n1], f(x[n1])) и (x[n2], f (x[n2])), а абсциссу точки
пересечения секущей MN с осью х возьмем в качестве значения следующего
приближения x[s] к корню (рис. 3).
+------------------------------------------------------------------+
| 0x08 graphic |
| 0x08 graphic |
| 0x08 graphic |
| 0x01 graphic |
|------------------------------------------------------------------|
| Рис. 3. Графическая иллюстрация метода секущих |
+------------------------------------------------------------------+
Принятое правило нахождения следующего приближения приводит к расчетной
формуле:
Из трех приближений к корню оставим два последних (отбрасываем самое
старое x[n1]). В методе секущих это делается по следующему правилу:
x[n1] = x[n2]; x[n2] = x[s].
Выполнение итераций можно прекратить при выполнении условия
|x[n2] - x[n1]|< e,
а полученное значение приближения x[s] взять в качестве искомого значения
корня x[w].
Расчетные формулы должны быть применены в алгоритме вычисления корня по
методу секущих.
Обратим внимание на то, что формула имеет много общего с формулой Ньютона.
Знаменатель в формуле есть не что иное, как среднее значение производной
f^`(x) на отрезке [x[n1], x[n2]].