Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Факультет прикладной математики и кибернетики

Направление «Прикладная информатика»

Курсовая работа

По математическому анализу

На тему: «Ряд Тейлора для функции

одной и нескольких переменных »

Автор: Егорова Оксана Андреевна

Научный руководитель: Михно Галина Алексеевна

Оценка:

Тверь 2011

Оглавление

1)Введение

2) Теорема Тейлора для функций от одной вещественной переменной:

2.1 Формулировка теоремы

2.2Формулы для остатка

2.3 Оценка остатка

2.4 Доказательство теоремы

2.5 Примеры

3)Теорема Тейлора для функций от нескольких переменных:

3.1Частные производные. Мультииндекс. Обозначения

3.2Обобщение формулы Бинома Ньютона

3.3Теорема 1 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

3.4 Теорема 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Введение

1)Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является конечной последовательностью их неполного ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.

Эта теорема названа в честь математика Брука Тейлора, который сформулировал одну из её версий в 1712 году. Явное выражение для ошибки приближения было дано намного позже Жозефом Лагранжем. Раннее, в 1671 году, Джеймсом Грегори уже было упомянуто следствие из теоремы.

Теорема Тейлора позволяет овладеть приёмами вычислений начального уровня, и она является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе. При изучении математики она является начальной точкой для изучения асимптотического анализа (англ.). Теорема также используется в математической физике. Она также обобщает анализ функций нескольких переменных и векторные функции f : Rn -> Rm для любых измерений n и m. Это обобщение теоремы Тейлора является базовым для определения так называемых струй, которые появляются в дифференциальной геометрии и в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

2) Теорема Тейлора для функций от одной вещественной переменной:

Если вещественно-значимая функция f(х) является дифференцируемой в точке a, то она имеет линейное приближение в точке a. Это означает, что существует функция h1 такая, что:

Здесь:

это линейное приближение функции f в точке a. График функции y = P1(x) является касательной к графику функции f в точке x = a. Ошибка приближения такова:

Заметим, что ошибка приближается к нулю немного быстрее, чем разница x − a приближается к нулю по мере того, как x стремится к  a.

Если мы ищем более лучшее приближение к f, мы можем использовать многочлен второй степени вместо линейной функции. Вместо нахождения производной от f в точке a, мы можем найти две производные, получив таким образом многочлен, который так же как и f возрастает (или убывает), и так же как и f имеет выпуклость (или вогнутость) в точке a. Многочлен второй степени (квадратный многочлен) в этом случае будет выглядеть следующим образом:

Теорема Тейлора позволяет убедиться, что квадратичное приближение является, в достаточно малой окрестности точки a, лучшим приближением, чем линейное. В частности,

Здесь ошибка приближения такова:

которая, при ограниченном характере h₂, приближается к нулю быстрее, чем приближается к нулю (x − a)² по мере того, как x стремится к a.

Таким образом, мы будем продолжать получать более лучшие приближения к f, если будем использовать многочлены всё более высокой степени. В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка k будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (x − a)k по мере того как x стремится к a.

Это следствие имеет асимптотическую природу: оно лишь говорит нам, что ошибка Rk приближения с помощью многочленов Тейлора k-го порядка Pk приближается к нулю быстрее, чем ненулевой многочлен k-го порядка по мере того как x → a. Оно не говорит нам, насколько велика ошибка в любой окрестности центра приближения, но для этого существует формула для остатка (приведена ниже).

Наиболее полные версии теоремы Тейлора как правило приводят к равномерным оценкам ошибки приближения в малой окрестности центра приближения, но эти оценки не являются адекватными для окрестностей, которые слишком велики, даже если функция f является аналитической. В этой ситуации следует выбирать несколько многочленов Тейлора с разными центрами приближения, чтобы иметь надёжное Тейлорово приближение к исходной функции. Возможна также ситуация, когда возрастание порядка многочлена не увеличивает качество приближения вообще, даже если функция f дифференцируется бесконечное число раз.

2.1) Формулировка теоремы

Точная формулировка большинства базовых версий теоремы такова.

Теорема Тейлора Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f : R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция hk : R → R такая, что:

Многочлен, возникающий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k-го порядка

Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена

который является ошибкой при нахождении приближения функции f с помощью многочленов Тейлора. Используя «O» большое и «o» малое теорему Тейлора можно сформулировать так