3.3. Критерии усвоения

После изучения содержания данной темы Вы должны:

• знать

что такое система элементов;

что такое линейная комбинация элементов данной системы;

что такое линейная оболочка системы элементов;

как определяется линейная независимость элементов системы;

как определяются подпространства в различных пространствах;

что такое размерность пространства;

что такое базис пространства;

какая система называется ортогональной;

какая ортогональная система называется полной;

что такое проекция в подпространство;

что такое энергетическое произведение;

что такое энергетическая норма;

что такое энергетическое пространство;

• понимать

смысл понятия «линейная комбинация»;

смысл понятия «линейная оболочка»;

смысл понятия «линейная независимость»;

смысл понятия «подпространство» для различных пространств;

смысл понятия «размерность»;

смысл понятия «базис»;

смысл понятий «ортогональная система», «полная ортогональная система»;

смысл понятий «энергетическое произведение», «энергетическая норма», «энергетическое пространство»;

• Уметь

определять, может ли какая-либо система быть базисом заданного пространства;

проверять, является ли заданная система ортогональной.

3.4. Выход темы в другие темы и дисциплины

Данная тема имеет выход в дипломные, магистерские и диссертационные работы.

3.5. Тест - контроль для самопроверки

3.1. Линейная оболочка системы элементов - это

А. Сумма их норм.

Б. Сумма расстояний между ними.

В. Выражение , где - числа;

Г. Множество всех линейных комбинаций каждых элементов, где -любое конечное количество этих элементов.

3.2. Линейная независимость элементов конечной системы - это

А. Невозможность указать такой набор коэффициентов одновременно не равных нулю, чтобы линейная комбинация указанных элементов с этими коэффициентами равнялась нулю.

Б. Их принадлежность к разным пространствам.

В. Возможность указать такой набор коэффициентов одновременно не равных нулю, чтобы линейная комбинация указанных элементов с этими коэффициентами равнялась нулю.

Г. Ортогональность элементов системы.

3.3. Подпространством нормированного пространства называется

А. Линейная оболочка любой системы элементов этого пространства.

Б. Множество всех линейных комбинаций каждых элементов, где -любое конечное количество этих элементов.

В. Всякое его замкнутое линейное подмножество.

Г. Множество элементов с одинаковой нормой.

3.4. Размерностью пространства называется

А. Число такое, что в пространстве имеется конечное число линейно независимых элементов, а любые его элементов линейно зависимы. Если в пространстве (или его подпространстве) можно указать произвольное сколь угодно большое (конечное) количество линейно независимых элементов, то оно бесконечномерно.

Б. Число элементов пространства.

В. Наибольшее расстояние между его элементами.

Г. Наибольшая норма его элемента.

3.5. Базис конечномерного пространства - это

А. Любая система его элементов.

Б. Система элементов, количество которых равно размерности пространства.

В. Система ортогональных элементов этого пространства.

Г. Любая система линейно независимых элементов этого пространства, где - размерность пространства.

3.6. Базис бесконечномерного пространства - это

А. Любая бесконечная система его элементов.

Б. Система ортогональных элементов этого пространства.

В. Такое счётное множество элементов , которое каждый элемент позволяет представить в виде , причём это представление единственно и должно пониматься по аналогии с тем, как понимается сумма ряда.

Г. Множество элементов с одинаковой нормой.

3.7. Ортогональная система элементов, полная в данном евклидовом пространстве, - это

А. Любая система ортогональных элементов этого пространства.

Б. Ортогональная система элементов , где - евклидово пространство, называется полной в , если в нет элемента , ортогонального всем элементам системы.

В. Система элементов, ортогональных ко всем элементам данного пространства.

Г. Ортогональная система, все элементы которой имеют единичную норму.

3.8. Энергетическим пространством оператора называется

А. Полное метрическое пространство, в котором задан этот оператор.

Б. Полное нормированное пространство, в котором задан этот оператор.

В. Замыкание области определения этого оператора с введенным в него скалярным произведением в виде энергетического произведения и нормой в виде энергетической нормы.

Г. Область определения оператора .

Ответы на тест-самоконтроль3.5 (адрес файла Блок 3 -----)

3.1. «Г» - Множество всех линейных комбинаций каждых .элементов этой системы

3.2. «А» - Невозможность указать такой набор коэффициентов , одновременно не равных нулю, чтобы линейная комбинация указанных элементов с этими коэффициентами равнялась нулю.

3.3. «В» - Всякое его замкнутое линейное подмножество.

3.4. «А» - Число такое, что в пространстве имеется конечное число линейно независимых элементов, а любые его элемент линейно зависимы. Если в пространстве можно указать произвольное сколь угодно большое конечное количество линейнонезависимых элементов, то оно бесконечномерно.

3.5. «Г» - любая система линейно независимых элементов этого пространства, где - размерность пространства.

3.6. «В» - Такое счётное множество элементов , которое каждый элемент в позволяет представить в виде , причём это представление единственно и должно пониматься по аналогии тем, как понимается сумма ряда.

3.7. «Б» - Ортогональная система элементов , где - евклидово пространство, если в нет элемента, ортогонального всем элементам системы.

3.8. «В» - Замыкание области определения этого оператора с введенным в него скалярным произведением в виде энергетического произведения и нормой в виде энергетической нормы.

.

.