- •(Вопрос 1) Абсолютная и относительная погрешности суммирования и вычитания чисел. Источники и классификация погрешностей
- •Абсолютная и относительная погрешности. Форма записи данных
- •Вычислительная погрешность
- •Вопрос 2. Абсолютная и относительная погрешности умножения и деления чисел.
- •Вопрос 3. Аппроксимация дискретных данных Метод наименьших квадратов
- •Вопрос 4. Интерполяция дискретных данных. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •Вопрос 5. Интерполяция дискретных данных. Формула Ньютона.
- •Вопрос 6. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод половинного деления.
- •Вопрос 7. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод хорд.
- •Вопрос 8. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод касательных.
- •Вопрос 9. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод итераций.
- •Вопрос 10. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
- •Вопрос 11. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод итераций.
- •Вопрос 12. Приближенное дифференцирование с помощью конечных разностей.
- •Вопрос 13.
- •Вопрос 14. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •Вопрос 15. Численное интегрирование. Метод Симпсона.
- •Вопрос 16. Численные методы решения задачи Коши для оду первого порядка. Метод Эйлера.
- •Метод Эйлера
- •Вопрос 17.
- •Вопрос 18.
- •Вопрос 19.
- •Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутты
- •Численные методы решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- •Переход от оду высшего порядка к сду первого порядка
- •Вопрос 28. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Вольтерры.
Вопрос 8. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод касательных.
Здесь необходимо требование , что первая и вторая производные непрерывны и сохраняют знаки на выбранном промежутке.
Формула метода может быть получена из предположения, что поправка h мала и можно использовать формулу Тейлора
Алгоритм метода:
-
За начальное приближение x0 принимают граничную точку, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x0)f’’(x0)>0 ;
-
Каждое следующее значение абсциссы xi+1 вычисляют как точку пересечения касательной, проведенной в текущей точкой кривой xi , с осью абсцисс по формуле:
-
Если |xi+1 – xi | > , то цикл повторяют, начиная с п.2, в противном случае считают, что найденное значение и есть корень уравнения этого интервала, вычисленный с точностью .
Достоинства метода: простота алгоритма, высокая скорость сходимости. Недостатки: необходимость отыскания первой производной в аналитической форме, ненадежность отыскания корня в указанном диапазоне. На рис.3 показано, что в случае проведения касательной в точке b , она может пересечься с осью x в точке c, лежащей за пределами выбранного интервала [a,b], и корень может быть найден совсем в другом интервале.
Вопрос 9. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод итераций.
Алгоритм метода:
-
Исходное уравнение f(x)=0 преобразуют к виду: x=(x)
-
Левая часть этого уравнения представляет уравнение прямой линии, проходящей через начало координат под углом в 45 к оси x. Абсцисса пересечения этой прямой с функцией (x) и представляет корень уравнения f(x)=0
-
Задают начальное приближение x0 и вычисляют значение функции (x0) Из следует, что его можно принять за первое приближение x1 : x1= (x0).
-
Вычислив функцию (x1) , принимают это значение за второе приближение x2= (x1) и так далее. В общем случае для (i+1)-й итерации можно записать:
xi+1= (xi ).
-
Итерации повторяют, пока выполняется условие |xi+1 – xi | > .
Геометрическая интерпретация метода показана на рис.4, причем на рис.4а) и 4б) процесс сходится к корню уравнения f(x)=0, а на рис.4в) и 4г) – расходится, хотя начальное приближение x0 и выбрано для них ближе к корню.
Из рис.4а) можно заметить, что угол наклона касательной к любой точке кривой y= (x) не превышает 45 к оси x , т.е. ’(x)<1 . Из рис.4б) следует, что для этого случая ’(x)>-1.
На рис.4в) и 4г) это условие не соблюдается и итерационный процесс на них расходится от корня уравнения.
Отсюда следует, что для обеспечения сходимости итерационного процесса должно соблюдаться условие:
|’(x)|<1
Вопрос 10. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
Рассмотрим СЛАУ:
или в матричном виде ,
где А –квадратная матрица размерности n x n .
x,b – n- мерные векторы , i=1,2,…,n
Будем полагать , что матрица А невырожденная , т.е. детерминант А0 и, следовательно, решение СЛАУ существует и оно единственное.
Основная идея метода состоит в том, чтобы исходную СЛАУ
A x = b
методом исключения свести к системе вида A’ x = b’, где A’ – треугольная матрица.
Рассмотрим более подробно процесс преобразования исходной матрицы A к треугольной A’. Предполагая, что a11 0 , разделим первое уравнение СЛАУ на коэффициент a11:
Вычтем полученное уравнение из всех остальных уравнений , умножая его на соответствующий коэффициент ai1 . В результате первое неизвестное x1 окажется исключенным из всех уравнений, кроме первого, и СЛАУ примет вид:
где
Далее, предполагая, что a22 0, делим второе уравнение преобразованной системы на коэффициент . Затем также умножаем его на соответствующие коэффициенты ai2 и вычитаем из всех оставшихся уравнений преобразованной системы , при этом из них будут исключены неизвестные x2 , начиная с третьего уравнения. Продолжая этот процесс исключения неизвестных, вместо второй системы получим эквивалентную систему :
В общем случае формулы имеют вид :
а) для коэффициентов в самом верхнем уравнении на k- ом шаге исключения
б) для остальных коэффициентов
Процесс сведения СЛАУ к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Выполнение указанных преобразований возможно, если получающиеся при расчете коэффициенты отличны от нуля. В противном случае нужно производить перестановку уравнений, т.к. среди коэффициентов обязательно найдется хотя бы один, отличный от нуля, - иначе матрица A была бы вырожденной.
В результате прямого хода СЛАУ приобретает вид:
Из последнего уравнения находится xn , затем из предпоследнего xn-1 и т.д.
Этот этап решения называют обратным ходом метода Гаусса.
В результате обратного хода
Общее число арифметических операций S, необходимых для решения СЛАУ методом Гаусса определяется по следующей формуле
S = 2/3n(n+1)(n+2) + n(n-1),
где n количество неизвестных.
При больших n .