Дисципліна: МОДЕЛЮВАННЯ ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ У ПОЛІГРАФІЇ

Модуль 2: МОДЕЛЮВАННЯ СТРІЧКОПРОВІДНИХ СИСТЕМ

Лекція 9: ПЕРЕДАТОЧНІ ФУНКЦІЇ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

План лекції 9:

9.1. Визначення поняття передаточної функції

9.2. Типові ланки динамічних систем в поліграфії

17.3. Операційне числення на основі перетворення Лапласа

9.1. Визначення поняття передаточної функції

Література: Луцків, М. М. Математичне моделювання і комп'ютерне симулювання електромеханічних та стрічкопровідних систем / М. М. Луцків, І. М. Хмельницька. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2010. – 172 с. // С. 17 – 20.

Властивості динамічного об’єкта і системи зазвичай аналізують при нульових початкових умовах та описують за доломогою перетворення Лапласа (передаточної функції об’єкта чи системи).

Передаточну функцію можна визначити як відношення перетворень Лапласа Y(s) вихідної величини y(t) до перетворення Лапласа Х(s) вхідної величини х(t) при нульових початкових умовах. Передаточну функцію прийнято записувати у вигляді:

W(s) = Ly(t)/Lx(t)) = Y(s)/X(s). (9.1)

Цей вираз можна одержати з диференціального рівняння об’єкта чи системи шляхом перетворення Лапласа.

Припустимо, що диференціальне рівняння, що описує динаміку об'єкта чи системи, має такий загальний вигляд:

a_n(dⁿy/dtⁿ) + а_п-1(d^n-1y/dt^n-1) + ... + а₁(dy/dt) + а₀ y =

b_m(d^mx/dt^m) + b_m-1(d^m-1x/dt^m-1) + ... + b₁(dx/dt) + b₀ x. (9.2)

Виконаємо перетворення Лапласа цього рівняння при нульових початкових умовах (похідних) в момент часу t = 0, тоді одержимо рівняння в операторній формі:

(а_nsⁿ + а_п-1s^n-1 + ... + а₁s + а₀)Y(s) =

= (b_тs^т + b_m-1s^m-1 + ... + b₁s + b₀)Х(s). (9.3).

Це рівняння можна отримати безпосередньо з рівняння (9.1) при припущенні, що d/dt = s.

З рівняння (9.3) одержимо вираз передаточної функції системи

W(s) = Y(s)/X(s) = (b_тs^т + b_m-1s^m-1 + ... + b₁s + b₀)/

/(а_nsⁿ + а_п-1s^n-1 + ... + а₁s + а₀). (9.4)

Вводячи поняття операторних поліномів, стоячих при перетвореннях Лапласа Y(s) та Х(s), одержуємо скорочений вигляд рівняннв (9.3) в операторній формі

A(s)Y(s) = B(s)X(s), (9.5)

де A(s) і B(s) – операторні поліноми.

Звідси відношення перетворень Y(s) до X(s) можна тлумачити як вираз передаточної функції в загальному вигляді

W(s) = Y(s)/X(s) = B(s)/A(s). (9.6)

Передаточну функцію об'єкта або системи можна представити у вигляді такої структурної схеми (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Структурна схема системи

На підставі рисунку 9.1 можна написати залежність перетворення вихідної величини системи від перетворення вхідної величини:

Y(s) = W(s)X(s). (9.7)

Для дослідження динамічних властивостей об'єктів і систем служать типові вхідні сигнали, які викликають певні перехідні процеси. Внаслідок їх дії дії в системі виникають перехідні процеси (реакція системи на вхідний сигнал). На підставі реакції на типовий сигнал можна визначити динамічні властивості і параметри системи.

До типових вхідних сигналів відносять: одиничну ступінчату функцію, гармонічну функцію, дельта функцію, одиничний імпульс тощо.

Визначимо одиничну ступінчату функцію як вхідний одиничний ступінчатий сигнал Х(t) = 1(t):

1(t) = 0 для t < 0 та 1(t) = 1 для t >0. (9.8)

На рисунку 9.2 подано графік одиничного ступінчатого сигнала.

Рис. 9.2. Графік одиничного ступінчатого сигналу

Перехідна функція h(t) об'єкта чи системи є виразом, який описує перехідний процес в ньому при дії на вході одиничного ступінчатого сигнала, а його графік називається перехідною характеристикою. Перехідна характе-ристика – це реакція об'єкта чи системи на вхідну одиничну ступінчату дію.

Припустимо, що на вхід системи, що представлена структурною схемою (рис. 9.1), подано одиничний ступінчатий сигнал Х(t) = 1(t). Тоді рівняння системи (9.6) можна подати у вигляді:

Lh(t) = W(S)L1(t). (9.9)

Виконавши перетворення Лапласа при нульових початкові умовах, одержимо:

H(s) = W(s)/s, (9.10)

де H(s) = Lh(t) – перетворення Лапласа перехідної функції h(t); 1/s = L1(t) – перетворення Лапласа вхідного одиничного ступінчатого сигнала.

На підставі зворотнього перетворення Лапласа отримаємо вираз для визначення перехідної функції системи

h(t) = L^-1W(s)/s. (9.11)

Перехідна функція є зворотнім перетворення Лапласа передаточної функції, поділеної на оператор s. Маючи передаточну функцію довільного об'єкта чи системи W(s) можна безпосередньо визначити з таблиці 8.1 її перехідну функцію h(t).

Математична інтерпретація перехідної функції розв'язок диференці-ального рівняння (8.2) об'єкта чи системи при нульових початкових умовах, коли права частина рівняння є 1.

9.2. Типові ланки динамічних систем поліграфії

При аналізі, моделюванні і комп'ютерному симулюванні можуть траплятися динамічні об'єкти і системи різної фізичної природи. Наприклад, системи механічні, електричні, електромеханічні, пневматичні, гідравлічні та інші. Ці системи можуть бути описані подібними диференціальними та алгебраїчними рівняннями. Внаслідок цього вони мають подібні динамічні властивості. З методичного погляду не має сенсу окремо аналізувати властивості подібних систем та елементів.

Для спрощення комп'ютерного моделювання динамічних систем впроваджено типові ланки динамічних систем, які широко застосовуються в теорії автоматичного керування. Під поняттям типова ланка розуміємо об'єкти, системи або виділену їх частину (елемент), що має такий самий математичниіі опис без огляду на його фізичну природу. Математичний опис типових ланок зводиться до простих типів диференціальних рівнянь або передавальної функції ланки.

9.2.1. Пропорційна (безінерційна) ланка описується алгебраїчним рівнянням

y(t) = kx(t), (9.12)

де k – параметр ланки, що відтворює сталий коефіцієнт передачі (підсилення).

Передаточна функція пропорційної ланки має вигляд:

W(s) = Ly(t)/Lx(t) = Y(s)/X(s) = k. (9.13)

Перехідна функція для х(t) = 1(t) має вигляд

h(t) = к1(t) = к. (9.14)

Перехідну характеристику пропорційної ланки показано на рис. 9.3

Рис. 9.3. Перехідна характеристика пропорційної ланки

У пропорційних ланках відбувається миттєва реакція на вхідний сигнал. Прикладами пропорційних ланок можуть бути електричні та операційні підсилювачі, механічні зубчасті передачі, редуктори тощо.

9.2.2. Інерційна ланка описується простим диференційним рівнянням першого порядку:

Т(dy/dx) + y = kx, (9.15)

де k – коефіцієнт передачі, Т – стала часу, яка характеризує інерційні властивості ланки.

Рівняння динаміки інерційної ланки в операторній формі має вигляд:

(Тs + 1)Y(s) = kX(s). (9.16)

Передаточна функція інерційної ланки має вигляд:

W(s) = Y(s) /X(s) = k/(Тs + 1). (9.17)

Перехідна функція інерційної ланки для для вхідного сигнала х(t) = 1(t) є експоненціальною функцією

h(t) = k(1 – е^-t/T). (9.18)

Визначимо перехідну функцію для наступних моментів часу:

h(t = 0) = 0;

h(t = Т) = k(1 – е^-1) = 0,63k;

h(t = 3Т) = k(1 – е^-3) = 0,95k;

h(t → ∞) = k.

Очевидно, стала часу Т визначає швидкість протікання процесів у ланці (швидкодію ланки). При збільшенні сталої часу швидкодія ланки зменшу-ється. Наприклад, електричні елементи мають сталу часу у долі секунди, теплові об'єкти можуть мати сталу часу декілька хвилин і більше.

Перехідна характеристика інерційної ланки подана на рисунку 9.4.

Рис. 9.4. Перехідна характеристика інерційної ланки для Т = 1

При подачі на вхід інерційної ланки одиничного ступінчатого сигналу вихідна величина спочатку швидко наростає і поступово наближається до усталеного режиму. Інерційними ланками є об'єкти і процеси, які накопичують енергію або речовину та розсіюють їх.