- •Рабочая программа
- •Линейная алгебра
- •Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •Элементы функционального анализа
- •Введение в математический анализ
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Числовые и функциональные ряды. Гармонический анализ
- •Векторный анализ и элементы теории поля
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы
- •Численные методы
- •Функции комплексной переменной
- •Контрольная работа 2
- •Контрольная работа 3
- •Контрольная работа 4
- •Контрольная работа 1
- •Контрольная работа 2
- •Контрольная работа 3
- •Контрольная работа 4
Линейная алгебра
Литература [1], §§ 1-4, 15; [6], часть 1, §§ 3, 10-14 гл.1, §§ 1-6 гл.7.
5. Вычислить определители: а) ;
б) .
Указание. Определитель второго порядка вычисляется по формуле .
Ответ: а) .
6. Решить: а) неравенство >0;
б) уравнение =0.
Указание. Определитель третьего порядка раскрывается по формуле
.
Ответ: а) ; б) .
7. Вычислить определители путем приведения их к треугольному виду:
а) ; б) .
Указание. Определитель называется треугольным, если его элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Такой определитель равен произведению элементов, расположенных в главной диагонали. Для приведения определителя к треугольному виду сначала получают нули в первом столбце. Для этого, например, при вычислении , первую строку складываем с третьей, результат записываем на месте третьей строки; первую строку, умноженную на (-3), складываем с четвертой, результат записываем на месте четвертой строки.
Получаем . Далее, вторую строку, умноженную на (-4) и на 8, складываем соответственно с третьей и четвертой строками, и результаты записываем на месте третьей и четвертой строк. Получаем . Теперь осталось только третью строку, умноженную на , сложить с четвертой и результат записать на месте четвертой строки. Получим определитель треугольного вида.
Ответ: а) ; б) .
8. Решить систему методом Гаусса .
Указание. Выписать расширенную матрицу системы, то есть матрицу системы вместе со столбцом свободных членов системы. Привести расширенную матрицу системы к треугольному виду (см. предыдущий пример). После проведения преобразований, получим . Преобразованной матрице соответствует система уравнений . Из этой системы последовательно найти .
Ответ: .
9. Найти значения параметра а, при которых однородная система уравнений имеет нетривиальное (ненулевое) решение:
а) ; б) .
Указание. Однородная система имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю.
Ответ: а) ; б) ;
10. Даны матрицы и . Найти:
а) А+В и АВ; б) В+А и ВА.
Указание. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности при этом, если С=А+В, то . Произведение АВ=С имеет смысл, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, при этом .
Ответ: а) А+В не имеет смысла, ;
б) В+А не имеет смысла, .
11. Вычислить: а) , где ;
б) , где .
Указание. В выражении под единицей понимается единичная матрица , поэтому .
Ответ: а) ; б) .
12. Линейный оператор задан соотношением:
а) ;
б) , где . Найти матрицу А оператора в базисе .
Указание. Чтобы найти матрицу линейного оператора, необходимо найти результат его действия на базисные векторы . Координаты полученных векторов составят первый, второй и третий столбцы искомой матрицы. В нашем случае .
Ответ: а) ; б) .
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Литература [1], §§ 5-13,24-26; [6], часть 1, §§ 4-9 гл.1.
13. При каких α и β векторы: а) и ;
б) и коллинеарные?
Указание. Коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, поэтому .
Ответ: а) ; б) .
14. Вектор составляет с осью угол , а с осью угол . Найти угол между осью и вектором и координаты вектора , если: а) , - угол тупой; б) , - угол острый.
Указание. Направляющие косинусы удовлетворяют равенству . Координаты вектора выражаются через его модуль и направляющие косинусы: , , .
Ответ: а) ;
б) .
15. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если:
а) , ;
б) , .
Указание. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле , где , .
Ответ: а) 6; б) .
16. Найти модуль векторного произведения , если:
а) ;
б) .
Указание. Вычислить сначала координаты векторов и , а затем воспользоваться формулой для вычисления векторного произведения векторов и , заданных координатами, .
Ответ: а) ; б) .
17. Доказать, что треугольник АВС прямоугольный, если:
а) и ;
б) .
Указание. Найти координаты векторов , составляющих стороны треугольника и, найдя модули этих векторов, проверить, выполняется ли теорема Пифагора, или, найдя скалярные произведения каждой пары векторов, выяснить, есть ли среди векторов перпендикулярные.
Ответ: а), б) Утверждения верны.
18. Вычислить внутренние углы треугольника , если:
а) ;
б) .
Указание. Найти координаты векторов , составляющих стороны треугольника и воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами .
Ответ: а) , ;
б) , , .
19. При каких значениях параметра векторы и будут компланарными, если:
а) ;
б) ?
Указание. Найти смешанное произведение векторов, приравнять его к нулю и решить полученное уравнение.
Ответ: а) ; б) .
20. Установить, что три плоскости , , имеют только одну общую точку и найти координаты этой точки.
Указание. Решение системы и будет являться точкой пересечения заданных плоскостей.
Ответ: .
21. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость от координатного угла: а) , б) ,
в) .
Указание. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях и вычислить площади прямоугольных треугольников.
Ответ: а) 240; б) 480; в) 400.
22. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей отрезки и : а) на координатных осях и ; б) на координатных осях и .
Указание. По условию задачи для пункта а) точки и лежат в искомой плоскости, следовательно, вектор также лежит в этой плоскости. Вектор является вектором нормали искомой плоскости. Если вектор - нормаль, а точка - точка плоскости, то уравнение плоскости .
Ответ: а) ; б) .
23. Определить, лежит ли точка внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями:
а) , , ;
б) , , .
Указание. Найти координаты вершин треугольника и уравнения сторон треугольника. Записать систему неравенств, определяющую треугольник. Выяснить: удовлетворяют ли координаты заданной точки системе неравенств.
Ответ: а) вне треугольника; б) внутри треугольника.
24. Найти угол между прямыми:
а) и , если : и : ;
б) и , где - прямая перпендикулярная плоскости .
Указание. Под углом между прямыми понимают угол между их направляющими векторами.
Ответ: а) ; б) .
25. Найти проекцию точки на плоскость:
а) ; б) .
Указание. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точку перпендикулярно заданной плоскости.
Ответ: а) ; б) .
26. Определить тип кривых, заданных уравнениями:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Указание. Выделить полные квадраты переменных.
Ответ: а) - окружность;
б) - эллипс;
в) - гипербола;
г) - парабола.