Дискретные и непрерывные случайные величины; примеры.

До сих пор основным понятием у нас было понятие случайного события. Мы рассматривали вероятность наступления того или иного случайного события в том или ином испытании или серии испытаний. Теперь же появляется новое понятие — понятие случайной величины, которое, к тому же, объявляется «одним из основных понятий

теории вероятностей». Возникают два вопроса. Первый: что такое «случайная величина» и чем она отличается от обычной (иначе говоря, «неслучайной») величины? Второй вопрос: как соотносятся друг с другом понятия «случайная величина» и «случайное событие»?

Обычная (неслучайная) величина имеет определенное числовое значение. Она выражается определенным числом (отвлеченным или именованным).

Назовём обычные величины, с которыми вы встречались на уроках (например математики): целые, дробные (рациональные), натуральные; постоянные, переменные.

А вот случайная величина характеризуется множеством числовых значений, она принимает то или иное значение под влиянием случайных обстоятельств.

Определение 1: Если множество числовых значений конечное или если оно бесконечное, но счетное (каждому элементу множества можно приписать порядковый номер), то говорят о дискретной случайной величине.

Определение 2: Если же числовые значения заполняют какой-то промежуток на числовой оси или даже всю числовую ось, то говорят о непрерывной случайной величине.

Мы ограничимся здесь рассмотрением дискретных случайных величин.

Между случайными величинами и случайными событиями существует связь?

Да, существует. Точнее говоря, ее можно установить в различных конкретных ситуациях. С множеством исходов какого-либо испытания, образующих полную группу случайных событий, можно сопоставить множество числовых значений дискретной случайной величины.

Пример. Рассматриваем испытание — подбрасывание игрального кубика. Полная группа событий — выпадения той или иной из шести граней кубика; множество исходов состоит из шести элементов. С этим множеством из шести исходов можно сопоставить множество из шести числовых значений случайной величины, представляющей собой количество выпавших очков: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пусть в конкретном испытании выпала какая-то грань. Это означает, что случайно реализовалось соответствующее числовое значение нашей случайной величины (выпало соответствующее количество очков).

По-видимому, случайные величины можно рассматривать как числовые представления случайных событий?

Действительно, множество значений случайной величины можно рассматривать как числовое представление некоторой полной группы случайных событий. Если речь идет о дискретной случайной величине, то можно говорить о вероятностях ее значений: от испытания к испытанию она принимает числовые значения с вероятностями, равными вероятностям наступления соответствующих случайных событий из рассматриваемой полной группы событий. Сумма вероятностей значений дискретной случайной величины равна единице (как и сумма вероятностей наступления событий, составляющих полную группу).

А разве все это не относится также к непрерывным случайным величинам?

Вероятность того или иного значения непрерывной случайной величины всегда равна нулю.

Разве значения непрерывной случайной величины не реализуются?

Они, конечно, реализуются. Тем не менее, вероятность любого наперед заданного значения из множества значений непрерывной случайной величины равна нулю. Допустим, Вы мысленно бросаете точку на отрезок числовой оси 0 < х < 10. Может ли эта точка попасть, например, в точку отрезка с координатой х = 5?

А почему бы и нет?

Однако вероятность того, что она попадет в точку х= 5, равна нулю. Более того, вероятность попасть в любую другую наперед выбранную точку отрезка тоже равна нулю.

Всё это нуждается в дополнительных разъяснениях. Как я уже заметил, мы ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин. Однако в конце темы сделаем по поводу случайных величин ряд замечаний общего характера и, в частности, поговорим немного об особенностях непрерывных случайных величин. Вот тогда и появятся некоторые дополнительные разъяснения.