Друге рівняння Максвелла.

Друге рівняння Максвелла представляється законом повного струму з врахуванням струму зміщення

, (13)

де I - струм, створюваний вільними носіями струму, струм зміщення. Інтегрування проводиться по замкненому контуру , що охоплює поверхню . Зважаючи на те, що

, (14)

рівняння в інтегральній формі матиме вигляд

. (15)

За теоремою Стокса циркуляцію запишемо у вигляді

. (16)

Підставивши цей вираз у (15), одержимо друге рівняння Максвелла в диференціальній формі

. (17)

5. Струм зміщення

Спостерігаючи перезарядження двох куль, з'єднаних провідником, Максвелл виразно побачив, що даний випадок істотно відрізняється від тих явищ, з якими мав справу Ампер у своїй лабораторії. Ампер вимірював силу, з якою діє один провідник на інший, коли по них протікають постійні струми. У розглянутому прикладі струм не буде постійним. Заряд буде перетікати від однієї кулі до іншої, а потім назад, і його рух нагадуватиме рух маятника, який здійснює коливальні рухи. Максвелл зрозумів, що закон Ампера справджується для замкнутих струмів, і порушив питання про те, що відбуватиметься, якщо струм буде незамкнутим. Описуючи так званий "електротонічний стан" Фарадея, Максвелл використовує рівняння нерозривності для замкнутих струмів і пише: "Тому наше дослідження обмежується поки що замкнутими струмами, і ми мало знаємо про дію незамкнутих струмів, що мають здатність до намагнічування".

У наш час ми могли б упевнено стверджувати, з'ясувавши протиріччя у вихідних постулатах теорії, що закон Ампера справджується тільки стосовно постійних і замкнутих струмів. Максвелл припустив, що в закон Ампера потрібно додати ще один член, що відіграє істотну роль, лише коли струми змінюються дуже швидко. Цей член, який Максвелл назвав струмом зміщення і який зникає за тих умов, при яких Ампер проводив свої вимірювання, усуває протиріччя між законом Ампера й законом збереження заряду, надаючи рівнянню електрики й магнетизму симетричного вигляду, тому що цей член описує виникнення магнітного поля під дією змінного електричного поля.

Максвеллівська модифікація закону Ампера привела до того, що рівняння електромагнетизму стали несуперечливими й симетричними: із закону Фарадея випливає, що змінне магнітне поле породжує електричне поле, а тепер, після введення Максвеллом струму зміщення, можна стверджувати, що і змінне електричне поле збуджує магнітне поле.

З різних чисто технічних причин ефекти струму зміщення дуже важко спостерігати, поки швидкість зміни полів не стає дуже великою; знадобилося 20 років, перш ніж Герцу, уже після смерті Максвелла, вдалося одержати перше експериментальне підтвердження теорії Максвелла.

Третє рівняння Максвелла.

Третє рівняння Максвелла випливає з теореми Остроградського - Гауса для індукції електричного поля

, (18)

а саме: потік зміщення електричного поля через довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі вільних зарядів, які знаходяться в об'ємі з поверхнею . Заряд із густиною запишемо у вигляді