2. Метод слепой дереверберации звуковых сигналов

Попробуем разделить мультипликативно связанные сигналы. Речь пойдет о по­мехе в виде повторяющегося сигнала, такая помеха называется реверберационной.

Примем следующую математическую модель реверберационной помехи. Имеет­ся первоначальный сигнал F(t), который повторяется через времена с амплитудами a_n, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Эта модель может быть усложнена введением изменения фазы, одинаковой для всех частот спектра F(t). Согласно этой модели принимаемый сигнал P(t) можно запи­сать в следующем виде:

(1.4)

Выражение (1.4) является частным случаем следующего общего соотношения:

(1.5)

где S(t) представляет собою отклик некоторого линейного фильтра на импульсное воздействие в виде -функции. В нашем случае, при принятой нами модели сигнала, S(t) представляет собою следующую сумму -функций:

(1.6)

Из теории линейных фильтров следует, что спектр P(t) представляет собой произведение спектров F(t} и S(t), что можно записать в виде

(1.7 )

Здесь под спектром понимается результат комплексного преобразования фурье-функции, являющейся индексом G. На основании выражения (1.6) спектр S(t) будет выглядеть как

(1.8)

В формуле (1.8) сделано обобщение модели сигнала путем введения фазы задержанного сигнала, одинаковой для всех значений.

Проблема состоит в том, чтобы выделить спектр чистого, не искаженного ре­верберацией сигнала, пользуясь лишь сигналом (1.8), не прибегая к другим измере­ниям (слепая дереверберация). Заметим, что рассмотренный выше способ разделения сигналов после их логарифмирования в данном случае неприменим, так как спектры логарифмов сомножителей перекрываются.

Покажем, как можно отделить эти сомножители другим способом, основанным на принятой модели реверберации (1.4). Из соотношения (1.8) следует, что для оп­ределения значения частотной характеристики реверберации достаточно определить значения параметров , а_п и .

Прежде всего надо с максимальной точностью определить значения величин за­держек сигналов - . Эта операция производится путем логарифмирования выраже­ния (1.7) с последующим спектральным анализом логарифма. В данном случае этим приемом нельзя воспользоваться для разделения сигналов, так как спектры перекры­ваются. Однако спектр одного из сомножителей состоит из дискретных составляю­щих, и этим можно воспользоваться. Логарифмируя модуль (1.7), с учетом (1.8) получим

(1.9)

Как следует из (1.9), в спектре (кепстре) от логарифма модуля спектра приня­того сигнала должны наблюдаться спектральные линии на частотах (сачтотах), равных величинам задержек сигналов. Хотя спектры слагаемых в (1.9) не разделяются, дискретный характер спектра (1.8) позволяет на фоне другого слагаемого этот спектр увидеть и определить его параметры. Необходимым условием для этого явля­ется достаточно большая длина реализации сигнала (1.9), подвергающегося спек­тральному анализу. Таким путем можно с необходимой точностью определить как факт существования дискретных задержек сигнала по наличию соответствующего максимума в спектре (1.9), так и времена задержек сигнала по положению этого максимума. При этом могут наблюдаться и ложные максимумы, принадлежащие пер­вому слагаемому (1.9). Это выясняется на описываемом ниже этапе обработки сиг­нала при определении значений коэффициентов.

Значения коэффициентов и определяются для каждой задержки в отдель­ности. С этой целью составляется ряд опорных функций. Поясним этот этап обработ­ки на примере определения одного коэффициента . В качестве опорной берется сле­дующая функция:

(2.0)

,где - пока произвольное число, а ,- уже определенная ранее задержка сигнала.

Логарифм спектра (2.0) не содержит частот (сачтот) , при условии достаточной малости амплитуд ревеберирующих сигналов и ра­венства нулю величины , определяемой посредством соотношения

(2.1)

Придавая различные комплексные значения коэффициенту к, можно добиться того, что В₁ либо обратится в нуль, либо достигнет некоторого минимума по модулю.

Таким образом, поочередно для каждой задержки находятся все параметры частотной характеристики реверберации, входящие в (1.9).

Для устранения реверберационных искажений спектр принятого сигнала следу­ет поделить на частотную характеристику с подставленными в нее найденными пара­метрами задержанных сигналов, после чего сделать обратное преобразование Фурье. Окончательно убедиться, что задача решена правильно и полностью, можно опять с помощью кепстра.. Кепстр восстановленного сигнала не должен содержать интенсив­ных дискретных компонент.

Эксперименты проводились над мелодией «К Элизе», бралась задержка 4.5 мс с амплитудой 0.7А, где А – амплитуда эталонного сигнала. Также прилагается пример с двумя задержками: задержка 4.5 мс с амплитудой 0.7А, и 5.6 мс с амплитудой 0.6А.