9.2. Эмм межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева)

Если считать, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется a_ij количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, которое не зависит от объема производства в отрасли, то оно может быть определено как:

;

Величины a_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и характеризуют количество продукции i-й отрасли, использованной при производстве единицы продукции j-й отрасли. Очевидно, что С учетом коэффициентов a_ij систему уравнений баланса (9.2) можно переписать в следующем виде:

; (9.3)

или в матричном виде:

X=AX+Y, (9.4)

где – матрица коэффициентов прямых материальных затрат;

X, Y – вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.

Системы уравнений (9.3) и (9.4) называются ЭММ МОБ Леонтьева, или моделью «затраты – выпуск», за которую В.В. Леонтьев в 1973 г. получил Нобелевскую премию.

С помощью этой модели можно

- определить объемы конечной продукции каждой отрасли Y_i, задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли X_i:

Y=[E–A]X.

- решить обратную задачу, т.е. задав значения Y_i, можно определить X_i (валовой выпуск продукции):

X=[E–A]^-1Y. (9.5)

- задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, определить по (9.3) недостающие неизвестные.

Если обозначить B=[b_ij]=[E–A]^-1, то (9.5) запишется в матричной форме

X=BY,

где B – матрица коэффициентов полных затрат,

или в виде системы уравнений:

,

где b_ij – коэффициенты полных материальных затрат, показывающие какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

9.3. Матрицы коэффициентов прямых и полных материальных затрат

Перейдем к анализу модели МОБ. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица A в целом может быть названа неотрицательной, т.е. A≥0. Будем называть неотрицательную матрицу A продуктивной, если существует хотя бы один такой неотрицательный вектор X≥0 (вектор валовой продукции), что

X>AX, т.е. [E–A]X>0.

Это определение имеет простой экономический смысл: матрица А продуктивна, если существует такой план X>0, что каждый объект (отрасль, предприятие, цех) может произвести некоторое количество конечной продукции (Y>0).

Продуктивность матрицы может быть определена, если выполняется одно из условий:

1. Матрица [E–A] неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица [E–A]^-1 и все ее элементы неотрицательны.

2. Положительны все главные миноры матрицы [E–A], т.е. определители матрицы, образованные элементами первых строк и столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n.

3. Матричный ряд

сходится, причем его сумма равна обратной матрице [E–A]^-1.

4. Наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А, т.е. решение характеристического уравнения:

|A–λE|=0,

строго меньше единицы.

Пример 9.1. Оценить продуктивность матрицы

Продуктивность по второму признаку

т.е. матрица А продуктивна.

Исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли, то можно говорить, что коэффициент полных материальных затрат представляет собой сумму прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если обозначить косвенные материальные затраты различных порядков через A^(k), то в матричной форме матрица коэффициентов полных материальных затрат может быть вычислена как

B=[E–A]^-1=E+A+A⁽¹⁾ +A⁽²⁾+…

или

.

Обычно этой формулой пользуются для приближенных вычислений. Для точных вычислений используют обратную матрицу [E–A]^-1.

Пример 9.2. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

.

Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции X, заполнить схему межотраслевого материального баланса.

Матрица полных материальных затрат вычисляется по формуле

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Находим [E–A].

2. Составляем вспомогательную матрицу из алгебраических дополнений

3. Транспонируем эту матрицу и вносим в нее определитель

.

Величины валовой продукции трех отраслей определим по формуле

Межотраслевые потоки продукции рассчитываем по формуле

,

и т.д.

Заполняем таблицу межотраслевого баланса (табл. 9.2).

Таблица 9.2

Схема межотраслевого баланса

Отрасли – производители	Отрасли - потребители			Промежу­точное по­требление	Конеч­ное ис­пользо­вание	Валовый выпуск
	1	2	3
1	232,6531	51,0204	291,7224	575,3959	200	775,5102
2	155,1020	255,1020	0,0000	410,2040	100	510,2041
3	232,6531	51,0204	145,9184	429,5919	300	729,5918
Промежуточ­ные затраты	620,4082	357,1428	437,6408	1415,1918	600	2015,3061
Валовый выпуск	775,5102	510,2041	729,5918	2015,3061

Величины валовой продукции трех отраслей можно было бы определить из системы балансовых уравнений

Все рассмотренные выше балансовые модели являются статическими, т.е. такими, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени. Если разработать эти модели для различных периодов времени, то по ним невозможно установить связь, например, между предшествующим и последующим периодами времени. Взаимосвязь между предшествующими и последующими этапами развития отражается в динамической модели МОБ.