МОТС 30 вариант Первая часть

Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис. 5.7. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния q₁, q₂, q₃.

Блок-схема модели

Рис. 5.7

Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют вид: 1.9 Сигнал 19Переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обозначениями получим 1.9

Решение уравнения состояния складывается из двух составляющих – свободной и вынужденной.

Свободная составляющая – это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведение системы.

Вынужденная составляющая – это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала и характеризует поведение системы под его воздействием.

Решение уравнения состояния имеет вид

где – фундаментальная матрица или матрица перехода.

Она вычисляется по следующей формуле:

где – неизвестные коэффициенты.

Вычислить их можно, решая матричное уравнение

Для рассматриваемого примера

	1	-1	1
	1	-8	64		⋅				=				.
	1	-10	100

Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида

Решение данной системы уравнений имеет вид

		0	1	0				0	0	1
A=		0	0	1		=		-80	-98	-19
		-80	-98	-19				1520	1782	263

Итак,

		1.27	0	0				-0.714	0	0
A=		0	1.27	0		+		0	-0.714	0		+
		0	0	1.27				0	0	-0.714

		0.444	0	0				0	0.286	0
+		0	0.444	0		+		0	0	0.286		+
		0	0	0.444				-22.88	-28.028	-5.434

		0	-0.786	0				0	0.5	0
+		0	0	-0.786		+		0	0	0.5		+
		62.88	77.028	14.934				-40	-49	-9.5

		0	0	0.016				0	0	-0.071
+		-1.28	-1.568	-0.304		+		5.68	6.958	1.349		+
		24.32	28.512	4.208				-107.92	-126.522	-18.673

		0	0	0.056				1.27	0.286	0.016
+		-4.48	-5.488	-1.064		+		-1.28	-0.298	-0.018		+
		85.12	99.792	14.728				1.44	0.484	0.044

		-0.714	-0.786	-0.071				0.444	0.5	0.056
+		5.68	6.244	0.563		+		-4.48	-5.044	-0.564
		-45.04	-49.494	-4.453				45.12	50.792	5.672

			1.9				2.413				-1.3566				0.8436
			0		=		-2.432		+		10.792		+		-8.512
			0				2.736				-85.576				85.728

Так как , то свободная составляющая выходного сигнала будет равна

Определим вынужденную составляющую при входном сигнале u(t) = 19*1(t). Сигнал на выходе при поступлении на вход 1(t) уже вычислен – это переходная характеристика системы (5.4). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае – умножим переходную характеристику на 19.

Таким образом, сигнал на выходе системы будет следующим:

Выполним проверку:

	-верно
	-верно

Найдем решение уравнений состояния, представленных в канонической форме (5.3). Каждое из дифференциальных уравнений первого порядка зависит только от одной переменной и его решение в общем виде имеет вид

Определим начальные условия для вектора

Так как , то

									1.27	0.286	0.016				1.9				2.413
							=		-0.714	-0.786	-0.071				0		=		-1.3566
									0.444	0.5	0.056				0				0.8436