- •Факультет информационных технологий и управления
- •1 Математическое описание линейных систем
- •1.1 Дифференциальное уравнение системы. Характеристическое уравнение и его корни
- •Импульсная характеристика
- •1.3 Построение лачх и лфчх
- •1.4 Уравнение состояния в нормальной форме, схема моделирования
- •2 Линейное программирование
- •2.1 Математическая модель задачи. Нахождение оптимального плана х* и экстремального значения функции
- •2.2 Построение и решение задачи, двойственной к исходной. Сравнение решения прямой и двойственной задач
- •2.3 Получение целочисленного решения путем введения дополнительных ограничений по методу Гомори
- •3 Нелинейное программирование
- •3.2.2 Метод Ньютона-Рафсона
- •3.3 Нахождение экстремального значения функции f(X) с учетом системы ограничений задачи
- •3.3.1 Метод допустимых направлений Зойтендейка
- •3.3.2 Метод линейных комбинаций
- •3.3.3 Условия теоремы Куна-Таккера
Импульсная характеристика
1.3 Построение лачх и лфчх
При определении частотных характеристик подразумевается, что на входе и выходе системы сигналы являются гармоническими.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты.
ЛАЧХ строится в двойных логарифмических шкалах. По одной логарифмической оси откладывается круговая частота ω, по другой значение L(ω)=20lgK, выраженное в децибелах. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий с наклонами кратными 20дБ/дек.
По оси абсцисс откладывается угловая частота ωв логарифмическом масштабе (за единицу длинны одна декада).
Декада – отрезок на оси частот, соответствующий десятикратному усилению частоты. Длина отрезка, равного декаде, не зависит от частоты.
Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:
Теперь она представляет собой произведение трех апериодических и одного форсирующего звена с постоянными времени ;Коэффициент усиления К=16. Сопрягающие частоты звеньев равны
; ;;.
Далее необходимо правильно разметить оси и отметить на оси ω сопрягающие частоты в порядке их возрастания. ЛАЧХ приведена на рис. 1.1, а.
Первая линия в области низких частот проводится через точку ω=1; L(ω)=20lgK. Через эту точку проводится первый наклон, и он равен , где - количество интегрирующих звеньев. Так как интегрирующие звенья отсутствуют (=0), то первый наклон будет нулевой. Он идет параллельно оси частот на уровне L(ω)=20lgK=20lg3=24,082 до первой сопрягающей частоты . Эта частота относится к апериодическому звену Следовательно, наклон изменится на -1. Этот наклон будет идти до сопрягающей частоты. Так как это частота относится к форсирующему звену, то наклон изменится на +1 и станет нулевым, ЛАЧХ параллельна оси частот. После частотынаклон изменится на -1 и будет продолжаться до . После частотыон изменится еще на -1 и станет равным -2. Частота, при которой частотная характеристика пересечет ось частот, называется частотой среза,
Рис.1.1а Вид ЛАЧХ системы
Фазочастотная характеристика (рис. 1.1, б) построена в соответствии с выражением
Значения каждого из слагаемых определяются приближенно для значений ω → 0, ω → ∞, . В этих точках
ЛАЧХ системы:
>>margin(w)
АФЧХ системы:
>>nyquist(w)
1.4 Уравнение состояния в нормальной форме, схема моделирования
Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные х, связанные с внутренней структурой устройства,- переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.
Дифференциальное уравнение системы:
α2 α1 α0 β2 β1 β0
где и- коэффициенты уравнения.
Модальная форма уравнения состояния имеет вид:
(1.3)
где А – матрица Фробениуса.
Матрица Фробениуса – это квадратная матрица, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы; элементы нижней строки - это коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком, все остальные элементы – нулевые.
Для систем с одним входом и одним выходом D– одноэлементная матрица, В – вектор-столбец, состоящий из 3 элементов, которые определяются следующим образом:
;
Матрица С – вектор-строка, состоящая из 3 элементов, первый элемент единица, остальные нули:
.
Подставим рассчитанные матрицы в систему (1.3), получим:
Получим следующую систему уравнений:
Схема модели приведена на рис.1.2:
Σ
216
∫
∫
∫
2376
Σ
Σ
u
27
39 13
Рисунок 1.2 Блок-схема модели системы по результатам разложения передаточной функции в модальной форме
1.5 Уравнение состояния в канонической форме,
схема моделирования
Запишем уравнения состояния в канонической форме. Чтобы перейти к канонической форме, введем новую переменную q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: .
М – модальная матрица, которая имеет вид:
где - характеристические числа матрицы Фробениуса А. Модальная матрица имеет такой вид, так как матрица А имеет форму Фробениуса и все корни характеристического уравнения различны.
При подстановке q вместо х в нормальную форму уравнений состояния (1.3) получим уравнения состояния системы в канонической форме:
(1.4)
Здесь - диагональная матрица, вычисляется следующим образом:
Используем модальную матрицу:
Найдем :
где - матрица, обратная модальной, определяемая выражением:
.
Здесь -матрица, присоединенная к М, т.е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Подставим
И вычислим:
Подставим найденные значения в (1.4), получим:
Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис.1.3. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния .
Построим блок-схему присоединенной канонической формы
Построим блок-схему присоединенной канонической формы:
31.5 ∫ Σ
9
3 1
Σ
Σ
18 ∫
Σ 13.5 ∫
Рисунок 1.3
1.6 Решение уравнения состояния в нормальной и канонической формах
Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют видy(0)=1,3;. Сигналu(t)=13∙1(t). переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обозначениями, получим:
Решение уравнения состояния складывается из двух составляющихx(t)=x1(t)+x2(t) – свободной и вынужденной.
Свободная составляющая – это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведения системы.
Вынужденная составляющая – это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала u(t) и характеризует поведения системы под его воздействием.
Решение уравнения состояния имеет вид:
где еAt– фундаментальная матрица или матрица перехода.
А – матрица Фробениуса
Она вычисляется по следующей формуле:
еAt=γ0E+γ1A+γ2A2,
где γ0,γ1,γ2 – неизвестные коэффициенты.
Вычислить их можно, решая матричное уравнение:
Для рассматриваемого примера:
Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида:
γ0 -γ1+γ2= е-t,
γ0 -3γ1+9γ2= е-3t,
γ0 -9γ1+81γ2= е-9t.
Данную систему уравнений решаем методом Крамера:
Итак
Так какy=x1, то свободная составляющая выходного сигнала будет равна 6.308e-t + 0.003388e-9t-0.406e-3t. Определим вынужденную составляющую при входном сигналеu(t)=13∙1(t). Сигнал на выходе при поступлении на вход 1(t) уже вычислен – это переходная характеристика системы (1.1). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае, умножим переходную характеристику на 13.
Таким образом, сигнал на выходе системы будет следующим:
Выполним проверку:
- верно;
y(∞)=K*U=16*13=208 - верно.
Найдем решение уравнений состояния, представленных в канонической форме (1.4). Каждое из дифференциальных уравнений первого порядка зависит только от одной переменной, и его решение в общем виду имеет вид:
Определим начальные условия q(0) для вектораq(t).
Так как , то
Найдем выражения для ,и:
В результате получим аналитическое вырожение:
При т.е. к .
Выполним проверку:
y(∞)=K*U=16*13=208- верно.
Решения нормальных и канонических уравнений состояния совпадают.
1.7 Проверка: одинаково ли значение коэффициента усиления по передаточной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики
Проверим значение коэффициента усиления по:
передаточной функции:
переходной характеристике:
- верно.
моделям в пространстве состояний (в установившемся режиме на входах интеграторов нули и u=1):
- каноническая форма:
- нормальная форма:
К=16
аналитической записи импульсной переходной характеристики:
; проверяем:
.
Мы видим, что значение коэффициента усиления одинаково.