Kursovaja_po_MOTS_19

Схема модели приведена на рис. 5.6.

-

235200

17280

20

116

160

960

+

+

Рис. 5.6

1872

144

Записать уравнения состояния в канонической форме. Изобразить схему моделирования.

Введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М q. М – это модальная матрица, которая имеет вид

		1	1	1				1	1	1
М=						=		-2	-8	-10
								4	64	100

где _i – характеристические числа матрицы Фробениуса А.

При подстановке q вместо x в нормальную форму уравнений состояния (5.2), то после преобразований получим уравнения состояния системы в канонической форме:

(5.3)

Здесь  – диагональная матрица:

			0	0				-2	0	0
=						=		0	-8	0		,
								0	0	-10

где M^-1 – матрица, обратная модальной.

,

где AdjM – матрица, присоединённая к M, т. е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.

		1.667	0.375	0.021
=		-1.667	-1	-0.083		,
		1	0.625	0.063

			1.667	0.375	0.021				960				20
	=		-1.667	-1	-0.083				-17280		=		-3920
			1	0.625	0.063				235200				4860

[1 0 0]		1	1	1
		-2	-8	-10		=[1 1 1],
		4	64	100

Matlab

>>M=[1 1 1;-2 -8 -10;4 64 100]

M =

1.0000 1.0000 1.0000

-2.0000 -8.0000 -10.0000

4.0000 64.0000 100.0000

inv(M)

ans =

1.6667 0.3750 0.0208

-1.6667 -1.0000 -0.0833

1.0000 0.6250 0.0625

B=[960;-17280;235200]

B =

960

-17280

235200

M^-1*B

ans =

20.0000

-3920.0000

4860.0000

Подставив найденные значения в (5.3), получим

								-2	0	0								20		⋅
					=			0	-8	0		⋅				+		-3920
								0	0	-10								4860

Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис. 5.7. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния q₁, q₂, q₃.

Блок-схема модели

Рис. 5.7

Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют вид: 2 Сигнал 20Переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обозначениями получим 2

Решение уравнения состояния складывается из двух составляющих – свободной и вынужденной.

Свободная составляющая – это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведение системы.

Вынужденная составляющая – это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала и характеризует поведение системы под его воздействием.

Решение уравнения состояния имеет вид

где – фундаментальная матрица или матрица перехода.

Она вычисляется по следующей формуле:

где – неизвестные коэффициенты.

Вычислить их можно, решая матричное уравнение

Для рассматриваемого примера

	1	-2	4
	1	-8	64		⋅				=				.
	1	-10	100

Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида

Решение данной системы уравнений имеет вид

		0		1		0				0	0	1
A=		0		0		1		=		-160	-116	-20
		-160		-116		-20				3200	2160	284

Итак,

		1.667	0	0				-1.667	0	0
A=		0	1.667	0		+		0	-1.667	0		+
		0	0	1.667				0	0	-1.667

		1	0	0				0	0.375	0
+		0	1	0		+		0	0	0.375		+
		0	0	1				-60	-43.5	-7.5

		0	-1	0				0	0.625	0
+		0	0	-1		+		0	0	0.625		+
		160	116	20				-100	-72.5	-12.5