22. Выполните экстраполяцию, используя темп прироста по заказу дерева для производства мебели, если имеются следующие изменения в динамике:

Таблица3

год	2002	2003	2004	2005
Сосна, м.куб.	87	82	86	90

Проведем экстраполяцию двумя методами

1. По темпу прироста предыдущего периода:

, где V₂₀₀₄ – объем заказа сосны в 2004 году, V₂₀₀₅ – объем заказа в 2005.

м.куб.

Прогноз на 2006 год:

м.куб.

2. По усредненному темпу прироста:

, где V_n – объем заказа в последний год периода, V₁ – объем заказа в первый год периода, n – количество лет в рассматриваемом периоде.

м.куб.

Прогноз на 2006 год:

м.куб.

Таким образом, в зависимости от способа экстраполяции получаем различные результаты прогноза заказа дерева на следующий год. По темпу прироста предыдущего периода – 94 м.куб., по усредненном темпу прироста – 91 м.куб.

23. Составьте прогноз объёма продаж телевизоров используя линейную и параболическую функции (метод аппроксимация динамического ряда аналитическими функциями).

Таблица 4

год	2003	2004	2005	2006	2007
Количество проданных телевизоров, шт.	5380	5550	5480	5560	5600

Для аппроксимации воспользуемся методом наименьших квадратов. Суть метода в определении таких значений параметров аппроксимирующей функции, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений ряда от фактических окажется минимальной.

1. Аппроксимация линейной функцией.

Вид функции . Параметры a и b могут быть найдены из следующей системы уравнений:

n – количество наблюдений в динамическом ряду, t_i – номер периода наблюдения, y_i – наблюдаемое значение, соответствующее i-му периоду.

2. Аппроксимация квадратичной функцией.

Вид функции . Параметры a,b и c могут быть найдены из системы уравнений:

Для того чтобы получить прогнозное значение количества проданных телевизоров, необходимо подставить в получившуюся функцию вместо параметра t порядковый номер следующего периода. Помимо точечного прогноза необходимо определить границы возможного изменения прогнозного значения – доверительные интервалы. Ширина доверительного интервала определяется по формуле:

, где t_ - коэффициент доверия по распределению Стьюдента, в соответствии с выбранным уровнем доверительной вероятности ,

_y – среднее квадратическое отклонения расчетных значений от фактических, определяемое по формуле:

, где y_pi – расчетное значение прогнозируемой величины, m – количество параметров аналитической зависимости (для линейной зависимости - 2, для квадратической – 3).

Результаты предварительных расчетов сведем в таблицу 4.1:

Таблица 4.1

Год	t	t2	t3	t4	yi	tyi	t2yi
2003	1	1	1	1	5380	5380	5380
2004	2	4	8	16	5550	11100	22200
2005	3	9	27	81	5480	16440	49320
2006	4	16	64	256	5560	22240	88960
2007	5	25	125	625	5600	28000	140000
Сумма	15	55	225	979	27570	83160	305860

Система уравнений для определения параметров линейной функции:

Решаем систему:

Вид уравнения:

Результат прогноза на 2008 год: шт

Результаты предварительных расчетов среднеквадратического отклонения от линейной аппроксимации сведем в таблицу 4.2:

Таблица 4.2

№	Год	Количество проданных телевизоров, шт yi	Вид уравнения
			ypi=5379+45t
			ypi
1	2003	5380	5424	1936
2	2004	5550	5469	6561
3	2005	5480	5514	1156
4	2006	5560	5559	1
5	2007	5600	5604	16
Сумма				9670

Среднеквадратическое отклонение реальных значений от расчетных при аппроксимации линейной функцией:

. Ширина доверительного интервала (при =0,95):

.

Интервальный прогноз на 2008 год по методу линейной аппроксимации: количество проданных телевизоров составит 5649 111,27, или

.

Система уравнений для определения параметров квадратичной функции:

Решаем систему:

Вид уравнения: .

Результат прогноза на 2008 год: шт.

Результаты предварительных расчетов среднеквадратического отклонения от аппроксимации квадратичной функцией сведем в таблицу4.3:

Таблица 4.3

№	Год	Количество проданных телевизоров, шт yi	Вид уравнения
			ypi=5324+92,143t-7,8571t2
			ypi
1	2003	5380	5408	784
2	2004	5550	5477	5329
3	2005	5480	5530	2500
4	2006	5560	5567	49
5	2007	5600	5588	144
Сумма				8806

Среднеквадратическое отклонение реальных значений от расчетных при аппроксимации квадратичной функцией:

. Ширина доверительного интервала (при =0,95):

.

Интервальный прогноз на 2008 год по методу аппроксимации квадратичной функцией:

количество проданных телевизоров составит 5594 130,07, или

.

Таким образом, при аппроксимации предложенного динамического ряда линейной функцией прогноз количества проданных телевизоров на 2008 год будет иметь вид 5649 111,27, а при аппроксимации полиномиальной функцией второй степени:

5594 130,07.