Динамика

1. Основным законом динамики поступательного движения является второй закон Ньютона:

,

где - равнодействующая всех сил, приложенных к телу массой m, - ускорение тела.

При решении задач по динамике необходимо обратить особое внимание на правильное использование второго закона Ньютона. Сначала нужно сделать рисунок, на котором указываются все силы, действующие на тело, и выбирается система отсчета. Затем записывается второй закон Ньютона в векторной форме:

где

Наконец, данное векторное уравнение нужно спроецировать на выбранные направления осей x и y и решить полученную систему уравнений. Если в движении находится не одно, а несколько связанных между собой тел, то необходимо для каждого тела в отдельности выполнить все вышеуказанные действия и решить полученную систему уравнений.

2. В механике приходится иметь дело со следующими силами:

1) силой тяжести ;

2) силой трения , где - коэффициент трения, N- сила нормальной реакции опоры;

3) силой упругости , где k- коэффициент жесткости, x- величина деформации тела.

3. Закон Всемирного тяготения, для любых тел массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r:

где G=6,67∙10^-11Н∙м²/кг²- гравитационная постоянная

4. В замкнутой системе справедлив закон сохранения импульса

где m_i- масса отдельно взятого тела в системе взаимодействующих тел, - скорость этого тела, n- число взаимодействующих тел. Для двух тел, закон сохранения импульса примет вид:

где и - скорости тел до их взаимодействия, и - скорости тел после взаимодействия. При решении задач записываем закон сохранения импульса в векторной форме, выбираем направление осей координат и проецируем на них обе части векторного уравнения.

5. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:

М = J

где М – результирующий момент внешних сил, действующих на тело;

 - угловое ускорение;

J - момент инерции тела относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массы m

Твердое тело	Момент инерции
обруч радиусом R - относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра)
диск радиусом R - относительно оси, перпендикулярной плоскости диска, сплошной цилиндр относительно оси вращения
стержень длины l - относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину
стержень длины l - относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец
шар радиусом R - относительно оси, проходящей через его центр

6. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси:

L = J,

где  – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси:

где J₁ и ₁ – момент инерции системы тел и угловая скорость вращения в начальный момент времени; J₂ и ₂ – момент инерции и угловая скорость в конечный момент времени.

Пример 9.

Брусок массой m₂=3 кг движется по поверхности стола под действием силы натяжения нити. Нить перекинута через блок, укрепленный в конце стола. На другом конце нити висит брусок массой m₁=2 кг, падающий вниз. Найти ускорение, с которым движутся бруски. Коэффициент трения 0,2.

Решение.

П о второму закону Ньютона для обоих брусков можно написать:

В проекциях на оси x и y:

m₁ =m₁g - T

m₂a=T - F_тр,

Учитывая, что F_тр=μmg и складывая эти уравнения, получим:

a(m₁+m)=g(m₁-μm₂)

Тогда

= 2,8 м/с²

Пример 10.

Чему равно ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли?

Решение.

На поверхности Земли сила тяжести равна силе Всемирного тяготения:

где m- масса тела, M_з- масса Земли, R_з – радиус Земли. На высоте h от поверхности Земли сила тяжести будет равна:

Тогда

Отсюда находим g=2,5м/с²

Пример 11.

Шарик массой 500 г, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити в момент, когда она образует с вертикалью угол 60°. Скорость шарика в этот момент 1,5 м/с.

Решение.

На шарик действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Запишем для шарика второй закон Ньютона:

Направляя ось y вдоль радиуса, и проецируя на нее уравнение, получаем:

При движении по окружности ускорение центростремительное

Тогда

Выразим силу натяжения:

Пример 12.

Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определить его скорость и период вращения.

Решение.

Движение по круговой орбите происходит под действием только силы тяготения со стороны Земли:

где R_з- радиус Земли, M_з- масса Земли. По второму закону Ньютона: , где - центростремительное ускорение. Тогда

Откуда

Умножая числитель и знаменатель уравнения на R_з², получаем:

Так как , следовательно =7,01∙10³м/с

Период вращения спутника по круговой орбите радиусом R_З+h:

=7,24 ∙ 10³с

Пример 13.

Снаряд, летящий со скоростью 100м/с. Разорвался на два осколка. Большой осколок, масса которого равна 0,8 массы снаряда, продолжал двигаться со скоростью 200 м/с в прежнем направлении. Найти величину скорости меньшего осколка.

Решение.

П о закону сохранения импульса можно записать

По условию движение снаряда и осколков происходит по одной прямой, поэтому

Так как масса большего осколка m₁=0,8m_сн, а меньшего m₂=0,2m_сн, тогда скорость меньшего будет:

Знак «-» указывает, что меньший осколок полетит в противоположную сторону. Требуется определить величину скорости, т.е.