Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»
Кафедра систем телекоммуникаций
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Направляющие системы
телекоммуникаций»
Вариант 311
Минск 2011г.
ВАРИАНТ 311
Задача №1
Определить первичные и вторичные параметры передачи симметричного кабеля.
Найти также их составляющие: R0 – сопротивление по постоянному току; Rп.э – сопротивление за счёт поверхностного эффекта; Rбл – сопротивление за счёт эффекта близости; Lмп – межпроводниковую индуктивность; Lвп – внутрипроводниковую индуктивность; αм – затухание за счёт потерь в металле; αд – затухание за счёт потерь в диэлектрике.
Параметры кабеля представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Изоляция |
Толщина изоляции, мм |
εэф |
Частота f, кГц |
tgδ·10-4 |
Скрутка |
Расчетный диаметр |
Материал проводника |
Диаметр проводника, мм |
Полиэтиленовая |
0,32 |
1,9…2,1 |
10 |
2 |
Парная dп |
1,71· d1 |
Медь |
0,32 |
Решение:
Первичными параметрами симметричного кабеля являются:
R – активное сопротивление симметричной кабельной цепи переменному току;
L – индуктивность цепи;
С – ёмкость кабельной цепи;
G – проводимость изоляции кабельной цепи.
Уравнение для расчёта сопротивления симметричного кабеля имеет вид ([1], 5.64]):
R = Rп.т + Rп.э + Rбл (1.1)
где Rп.т = 2R0 – сопротивление постоянному току;
Rп.э = 2R0F(kr) – сопротивление за счёт поверхностного эффекта;
Rбл = 2R0сопротивление за счёт эффекта близости;
R0 – активное сопротивление проводника;
χ – коэффициент укрутки проводов кабеля;
k – коэффициент потерь для металла;
r – радиус голого проводника;
р – коэффициент, учитывающий вид скрутки (при парной скрутке р=1);
F(kr), G(kr), H(kr) - специальные функции, полученные с использованием видоизменённых функций Бесселя;
d – диаметр голого проводника;
а – расстояние между центрами проводников.
Сопротивление прямого провода определим по формуле ([2], 1.4]):
R0 = ,
где ρ = 0,0175 – удельное сопротивление меди при t=20°C.
Тогда
R0 = = 217,6 (Ом)
Коэффициент укрутки проводов кабеля характеризует удлинение жил относительно длины кабеля. Так как структура кабеля не определена условием задачи в полной мере, выберем повивную систему скрутки групп в сердечник кабеля, в центральном повиве – 1 группа. Будем рассматривать симметричную кабельную цепь, расположенную в третьем повиве.
Диаметр изолированного проводника равен:
d1 = d + 2∆ = 0,32 + 2 · 0,32 = 0,96 (мм)
Диаметр центрального повива определим по формуле:
D0 = 2d1 = 2 · 0,96 = 1,92 (мм)
Средняя толщина повива равна:
dп = 1,71 · d1 = 1,71 · 0,96 = 1,64 (мм)
Рассчитаем параметры цепи, находящейся в третьем повиве. Определим средний диаметр третьего повива:
D3 = D0 + 3dп = 1,92 + 3 · 1,64 = 6,84 (мм)
Коэффициент укрутки проводов кабеля определяется выражением ([2], 1.1):
χ =
где h – шаг скрутки. Его величина обычно составляет 100…300 мм. Выберем h = 200 мм. Тогда:
χ = = = 1,0057
Теперь рассчитаем сопротивление цепи кабеля постоянному току ([2], 1.2):
Rп.т = 2R0··1,0057
Коэффициент вихревых токов определим по формуле:
k = ,
где ω = 2πf = 2 · 3,14 · 104 = 6,28 · 104
μа = μ0 · μr – абсолютная магнитная проницаемость;
μ0 = 4π · 10-4 – магнитная проницаемость вакуума;
μr = 1 – относительная магнитная проницаемость проводника (для медных и алюминиевых проводов μr = 1);
σ = 57,00 · 10-3 – удельная проводимость меди.
Тогда:
k = = = = 2,12 (мм-1)
Рассчитаем коэффициент kr (произведение коэффициента вихревых токов на радиус голого проводника):
kr = k = 2,12 = 0,339.
С помощью таблицы ([1], 5.1]) найдем значения специальных функций F(kr), G(kr), H(kr):
F(kr) = 0,0002,
G(kr) = 0,0006,
H(kr) = 0,042,
Q(kr) = 0,99999.
Определим сопротивление за счет поверхностного эффекта:
Rп.э = 2R0F(kr) = Rп.т F(kr) =
Определим сопротивление за счет эффекта близости:
Rбл = 2R0Rп.т·437,5·0,029
где а = d + 2∆ = 0,32 + 2 · 0,32 = 0,96 (мм) – расстояние между проводниками.
Сопротивление кабельной цепи переменному току равно (1.1):
R = Rп.т + Rп.э + Rбл = 437,5 + 0,0875 + 0,029 = 437,6 .
Индуктивность цепи в целом определяется суммой внешней (межпроводниковой) Lмп и внутренней (внутрипроводниковой) Lвп = 2Lа индуктивностей:
L = Lмп + Lвп = Lмп + 2Lа (1.2)
Межпроводниковая индуктивность определяется выражением ([2], 1.7]):
Lмп = 6,4 10-4
Внутрипроводниковая индуктивность равна:
Lвп = μr Q(kr) 10-4 = 1 0,9999 10-4 = 9,99 10-5
Общая индуктивность симметричной кабельной цепи равна (1.2):
L = Lмп + Lвп = 6,4 10-4 + 9,99 10-5 = 7,39 10-4 .
Емкость симметричной кабельной цепи с учетом близости соседних пар определяется выражением ([1], 5.68]):
С = ,
где εэф = 1,35 – эффективная диэлектрическая проницаемость изоляции;
Ψп – поправочный коэффициент, характеризующий близость соседних пар:
Ψп = = 0,699.
Подставляя данные значения, получаем:
С = = 2,62 10-8
Проводимость изоляции G характеризует потери энергии в изоляции проводов кабеля. Величина проводимости определяется выражением ([1], 5.69]):
G = G0 + Gf = + Сtg,
где G0 – проводимость изоляции по постоянному току,
Gf – проводимость изоляции по переменному току,
С – емкость симметричной цепи,
tg - тангенс угла диэлектрических потерь.
Для кабельных симметричных цепей величина G0 = очень мала по сравнению с Gf, и ей можно пренебречь. Тогда:
G Сtg = 6,28 · 104 2,62 10-8 2 10-4 = 3,29 10-7
Вторичные параметры симметричной цепи являются:
Zв – волновое сопротивление;
– коэффициент затухания;
– коэффициент фазы;
V – скорость распространения энергии.
Волновое сопротивление определяется по формуле ([1], стр. 171]):
Zв = = = 165,25 .
Коэффициент затухания равен сумме двух составляющих ([1], стр. 171]):
= м + д,
где м – коэффициент затухания в металле,
д – коэффициент затухания в диэлектрике.
м = 0,5 R = 218,8 = 1,3
д = 0,5 G = 1,65 10-7 = 2,77 10-5
Суммарный коэффициент затухания:
= м + д = 1,3 + 2,77 10-5 = 1,3
Коэффициент фазы определяет угол поворота вектора тока на протяжении одного километра и на низких частотах определяется:
= 2 f = 6,28 · 104 = 0,28
Скорость распространения электромагнитной энергии является функцией частоты и фазовой постоянно, которая в свою очередь зависит от первичных параметров линии. В общем виде она определяется по формуле:
V = = = 2,27 105 .
Задача 2
Определить первичные и вторичные параметры передачи коаксиального кабеля.
Параметры кабеля представлены в таблице 2.
Таблица 2.
Изоляция |
εэф |
Частота f, МГц |
tgδ·10-4 |
Материал проводника |
Диаметры внутреннего и внешнего проводников, мм |
Балонно- полиэтиленовая |
1,22 |
1 |
0,5 |
Медь/медь |
2,6/9,5 |
Решение.
При расчёте на частотах более 60 кГц сопротивление коаксиального кабеля в основном определяется суммой сопротивлений внутреннего проводника Ra и внешнего проводника Rb и определяется по формуле ([1], 5.29):
R = Ra + Rb = 4,18 10-2,
где ra = da/2 = 1,3 (мм)
rb = db/2 = 4,75 (мм)
R = Ra + Rb = 4,18 10-2 = 4,18 10-2 = 40,97 .
Индуктивность коаксиального кабеля состоит из суммы внутренней индуктивности внутреннего проводника La и внешнего проводника Lb и наружной межпроводниковой индуктивности L . На низких частотах определяется по упрощённой формуле ([1], 5.32):
L = La + Lb + Lмп = 10-4 = 2,65 10-4 .
Значение ёмкости коаксиальной пары определим по формуле:
С = = = 5,24 10-8.
Расчёт проводимости проводим по формуле ([1], 5.36) при допущении, что сопротивление изоляции постоянному току бесконечно большое. Тогда
G Сtg = 2 f С tg = 2 3,14 1 106 5,24 10-8 0,5 10-4 = 1,6 10-5 .
При расчётах вторичных параметров учтём, что коаксиальные кабели практически используются на частотах более 60 кГц, где R<<ωL и G<<ωC, поэтому вторичные параметры обычно рассчитываются по упрощённым формулам.
При работе на частоте от 2 МГц для среды с μr=1 волновое сопротивление можно определить из выражения ([1], 5.41)
Zв = = = 71,1 (Ом).
Коэффициент затухания [1], 5.37:
м = 8,69 = 8,69 = 2,5
Потери в диэлектрике равны:
д = 8,69 = 4,94 10-3
Суммарные потери в кабеле равны:
= м + д = 2,5 + 4,94 10-3 = 2,5
Коэффициент фазы определяет угол сдвига между током (или напряжением) на протяжении одного километра
= 2 f = 6,28 · 104 = 23,4
В области высоких частот, скорость распространения энергии практически не зависит от частоты и определяется по формуле [1], 5.39:
V = = = 2,68 105 .
Задача 3
Определить параметры передачи: критическую частоту, критическую длину волны, волновое сопротивление, затухание, фазовую и групповую скорости, коэффициент фазы цилиндрического волновода с параметрами, приведёнными в таблице 3.
Таблица 3.
Диаметр волновода, см |
Вид моды |
Частота f, ГГц |
Материал проводника |
107, |
7 |
Е01 |
24 |
Медь |
5,7 |
Решение.
Критическая длина волны определяется выражением ([1], 5.101)
0 = ,
где рmn – корни, при которых функции Бесселя имеют нулевые значения;
m – индекс, указывающий на принадлежность корня к функции Бесселя порядка m;
n – порядковый номер корня;
a – радиус волновода.
Для типа волны Е01 значение p01=2,405.
Тогда
0 = = = = 9,14 (см) = 0,091 (м)
Критическая частота равна:
f0 = = = 3,28 109 (Гц)
где с = 3105 – скорость света в вакууме.
Циклическая частота равна:
= 2f = 2 3,14 24 109 = 1,51 1011
Считая, что волновод заполнен воздухом (r = 1, εr = 1) волновое число среды распространения равно
k = = = 1,511011= 1,511011= ·108 = 502,65
Коэффициент фазы равен ([1], 5.101)
= k
Обозначим
h = = = 0,99.
Тогда
= k = k h = 502,65 · 0,99 = 497,93
Фазовая скорость определяется по выражению ([1], 5.103)
Vф = = = = 3,03 105
Групповая скорость определяется по выражению ([1], 5.104)
Vгр = с = сh = 3105 0,99 = 2,97 105
Волновое сопротивление заполняющего волновод диэлектрика равно:
Zа = = = = 376,99 (Ом)
Волновое сопротивление для волны Е-типа определим по выражению ([1], 5.105)
= Zа = Zа h = 376,99 · 0,99 = 373,2 (Ом)
Активная часть волнового сопротивления металла стенок волновода равна:
Zм.а = = = 0,04 (Ом)
Коэффициент затухания для волны Е-типа равен ([1], 5.106)
E = 8,67 = 8,67 = 9 10-4