- •Лекция№10 Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной
- •3.1.Задачи, приводящие к понятию производной.
- •3. 2. Определение производной
- •3.3. Геометрический и механический смысл производной.
- •3.4. Уравнение касательной и нормали к графику функции
- •3.5. Связь непрерывности и дифференцируемости функции
- •3.6. Правила дифференцирования Теорема 1. Производная постоянной величины равна 0, т.Е. Если , где const, то .
- •3.7. Производная степенной, показательной и тригонометрических функций
- •3.8. Обратные функции. Производная обратной функции
- •3.9. Производная сложной функции
- •3.10. Гиперболические функции и их производные
- •3.11. Таблица производных
Лекция№10 Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной
3.1.Задачи, приводящие к понятию производной.
Рассмотрим движение материальной точки по оси . Координата материальной точки является дифференцируемой функцией времени . В момент времени материальная точка имеет координату . В момент времени материальная точка приобрела координату . Посчитаем среднюю скорость перемещения материальной точки за промежуток времени
.
Если устремить к нулю и рассмотреть , равный мгновенной скорости материальной точки , то можно заметить, что = = , т.е. предел отношения приращения координаты материальной точки к приращению времени и есть с одной стороны производная координаты по времени, а с другой стороны - мгновенная скорость материальной точки.
Сила тока: Пусть - это количество электричества, проходящего через фиксированное сечение провода за время .
Средняя сила тока
-сила тока в момент
3. 2. Определение производной
Пусть и - значения аргумента, а и - соответствующие значения функции . Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке .
Производной от функции по аргументу называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю:
; или
(производная обозначается также ).
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
3.3. Геометрический и механический смысл производной.
Легко выяснить геометрический смысл производной и дифференциала функции. Введем сначала общее определение касательной к кривой. Возьмем на непрерывной кривой две точки и (рис. 12).
Прямую , проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка двигаясь вдоль кривой , неограниченно приближается к точке . Тогда секущая, поворачиваясь около точки , стремиться к некоторому предельному положению .
Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение секущей , проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к точке . Касательная к графику функции образует угол с осью Ох. Секущая образует с осью угол . Угловой коэффициент секущей = = . При приближении точки к точке секущая, поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол наклона касательной стремится к углу наклона касательной , т.е. . Поэтому угловой коэффициент касательной равен производной от ординаты по абсциссе
= = = = .
3.4. Уравнение касательной и нормали к графику функции
Рассмотрим график функции . Выберем точку , принадлежащую кривой, и проведем через эту точку касательную. Касательная как наклонная прямая линия, проходящая через точку , имеет уравнение вида
.
Угловой коэффициент касательной равен производной функции, посчитанной в точке касания , т.е. . В результате получаем уравнение касательной к графику функции в точке (рис. 13)
Нормалью к кривой в точке , принадлежащей графику, называется прямая линия, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярно расположенных прямых связаны соотношением
, то уравнение нормали, проходящей через точку , имеет вид
.
Пример. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции в точке .
Решение. Так как производная в точке равна , а значение функции , то уравнение касательной имеет вид
или .
Уравнение нормали имеет вид
или .