Г осударственный Университет
Высшая Школа Экономики
в Санкт-Петербурге
Анисимова Н.П.
Методический материал по теме:
Квадратичные формы
Санкт-Петербург
2009
Методический материал по теме: Квадратичные формы.
§1. Определение квадратичной формы.
Рассмотрим следующие функции:
Обозначим А1 1=(а1 1) – матрица коэффициентов
f(x1) = a11x1²
f(x1x2) = a11x1² + a12x1x2 + a21x2x1 + a22x2² = a11x1² + 2a12x1x2 + a22x2²
(если а12=а21)
Матрица коэффициентов:
А2x2= а11 а12 симметричная матрица
а21 а22 относительно главной диагонали
Заметим, что А2x2 = Ат2x2
f(x1,x2,x3) = a11x1² + a12x1x2 + a21x2x1 + a13x1x3 + a31x3x1 + a23x2x3 + a32x3x2 + a22x2² + a33x3² = a11x1² + a22x2² + a33x3² + 2(a12x1x2+a13x1x3+a23x2x3)
Если а12=а21, а13=а31, а23=а32.
М атрица коэффициентов:
А3x3 = а11 а12 а13 Матрица, симметричная
а21 а22 а23 относительно главной диагонали
а31 а32 а33
А3x3 = Ат3x3
Например,
f(x1,x2) = 2x1² + 3x1x2 – 4x2²
A2x2 = 2 1,5
1,5 -4
2) A3x3 = -1 0,5 -0,6
0,5 4 0,3
-0,6 0,3 -8
f(x1,x2,x3) = -x1² + 4x2² – 8x3² +2*0,5 x1x2 – 2*0,6x1x3 + 2*0,3x2x3
В рассмотренных примерах мы имеем дело с функцией, которая в общем виде зависит от «n» переменных и задается определенной формулой, которой соответствует матрица коэффициентов.
Определение.
Квадратичной формой от «n» переменных называется функция вида:
n n
f(x1,x2,x3,…,xn) = Σ Σ aij xi xj
j=1 i=1
Матрица коэффициентов – это симметричная матрица.
A nxn = a11 a12 … a1j … a1n
a21 a22 … a2j … a2n aij = aji
-------------------------- (i≠5)
ai1 ai2 … aij … ain
--------------------------
an1 an2 … anj … ann
Anxn = Aтnxn
Если det A≠0, то квадратичная форма невырожденная.
Если ввести матрицу:
X1
= X2
X3 ,то квадратичную форму можно записать в матричной форме:
(2) f(x1,x2,x3)=XT1xn×Anxn×Xnx1
§2 Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
Опр.1 Будем говорить, что квадратичная форма f =f(x1,x2,…xn) положительно определена, если для (x1,x2,…xn) f (x1,x2,…xn)› 0 (кроме x1=x2…=xn=0)
Опр.2 Будем говорить, что квадратичная форма f =f(x1,x2,…xn) отрицательно определена, если для (x1,x2,…xn) f (x1,x2,…xn)‹ 0 (кроме x1=x2…=xn=0)
Опр.3 Квадратичная форма называется квазиположительной, если f(x1,x2,…xn)≥0, но неверно f (x1,x2,…xn)› 0
Опр.4 Квадратичная форма f (x1,x2,…xn) квазиотрицательна, если f≤0, но неверно f‹0
Замечание
Если говорят, что квадратичная форма неотрицательна, то это возможно одно из двух: или S положительная или квазиположительная, т.е. f≥0
Если говорят, что квадратичная форма неположительна, то это возможно: нулевая, отрицательная или квазиотрицательная
Если форма не удовлетворяет условиям перечисленным выше, то это знакопеременная форма.
Рассмотрим примеры
f(x)=ax2 (x≠0)
Если а›0, то f›0 (положительно определенная)
Если a‹0, то f‹0 (отрицательно определенная)
f(x1,x2)=x12-6x1x2+9x22
f(x1,x2)=(x1-3x2)2 f≥0 (неотрицательна)
f(x1,x2,x3)=-9x12-x22-3x32 f‹0 (x1,x2,x3≠0)
f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-4x3)2-9 f‹0
x1,x2,x3 отрицательно определена
В общем случае трудно установить знак квадратичной формы.