Контрольная по ВМ №8, вариант 5

385. Вычислить криволинейный интеграл вдоль треугольника с вершинами А(-2, 0),

В (2, 0), D (0, 2), обходя его против хода часовой стрелки.

Решение:

;

AB: ;

BD: ;

.

DA: ;

.

Таким образом .

395. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными

поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость хОу изобразить на чертежах.

.

Решение:

.

Область D в плоскости xOy есть область, ограниченная снизу кривой ,

сверху кривой и справа прямой ( при имеем),

х изменяется от 0 до 2, у изменяется от нижней кривой до верхней

, Поэтому, расставив пределы интегрирования, получим

.

405. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры,

ограниченной кривой , заданной уравнением в декартовых координатах.

Параметр а положителен.

Решение:

В полярных координатах , поэтому

;

, так как .

(кв. ед.)

415. Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью х + у + z = 1,

если плотность в каждой точке численно равна произведению координат этой точки.

Решение:

Пусть Т – поверхность ограниченная координатными плоскостями и плоскостью х + у + z = 1.

Плотность тела .

Тогда масса тела

.