- •1.Многочлены.
- •2. Рациональные дроби.
- •3. Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
- •4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •6. Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование тригонометрических функций.
- •8. Интегрирование иррациональных функций.
- •11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменных в определенном интеграле.
- •13. Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
- •14. Вычисление площадей плоских фигур.
- •15. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •17. Ни-1
- •18. Несобственные интегралы второго рода.
- •19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
- •20. Частные производные .
- •21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
- •22. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
- •23. Неявные функции и их дифференцирование.
- •24. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
- •28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.
- •29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.
- •30. Криволинейный интеграл первого рода.
- •36. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная форма и вычисление.
- •Скалярная форма кри-2
- •37. Формула Грина.
- •38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..
- •40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.
- •42. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •44 Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •45.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
17. Ни-1
Пусть f(x) определена на и инт на;, т.е.
Пусть . Если этотlimсуществует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.
;
Аддитивность : Если сходится, то,;
Линейность: Если сходится исходится, тосходится и
Вычисление и преобразование НИ-1.
Если f(x) непрерывна наиF– какая-то первообразная для ф-цииf(x), то
Интегрирование по частям.: ЕслиU,V– непрер. Диф-мы ф-ции на, то
Исследование на сходимость.
Т1: Пусть ф-ции f(x) иg(x), тогда еслии, то
сходится сходится
расходится пасходится
Предельный признак сравнения для НИ-1.
Т2: Пусть,;, тогда есликонечный, тоисходятся или расходятся одновременно.
При k=1при
Т3: Если исходится, тосходится.
Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Если расходится, асходится, от- неабсолютно (условно) сходящийся
Главное значении.
,, Еслии сходится, тои
18. Несобственные интегралы второго рода.
f(x) определена на [a,b);;, т.е.
называется НИ-2 и обозначается
Если этот Limсуществует и конечен, то говорят, чтосходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.
Свойства НИ-2.
{Аналогично НИ-1.}
Аддитивность
Если сходится, то,;
Линейность
Если сходится исходится, тосходится и
Вычисление и преобразование НИ-2.
Формула Ньютона-Лейбница.
f(x) – непрерывна на [a.b);F(X) - некоторая первообразная.
Интегрирование по частям.
Если U(x) иV(x) непр. И диф-мы на [a,b), то
Исследование на сходимость.
{Аналогично НИ-1.}
Главное значении НИ-2.
f(x) определено на
Определение:
19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого Е(эпсилон) сущ.N-N(E); любое n>=N(E) => p(Mn,A) < E; ;(число)
(x1, x2, …,xm)-независимые переменные.
Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого Е > 0 сущ., для любого
Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),
A(a1, a2,…, am)
Теор. Если сущ. и сущ., то сущ., причем
Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если
M(x1, x2, …,xn) ; … ; A(a1, a2, …,an)
Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если
Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.
20. Частные производные .
Частная производная ф-ции в точкепо переменнойx называется
, если он .
; ;
непрерывна
имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.
21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
; ;
;
Ф-ция называется диф-м в точкеесли ее полное приращениеможет быть представлено в виде, где, А,В – числа.
Теорема: Если диф в точке, тонепрерывна в этой точке.
Док-во: -диф-ма в т.
;
- непрерывна в точке
Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке, то
Док-во: ;;
Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т., непрерывна в самой точке, то она диф. В точке.
Если дифф. В т., то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-циив т.
;
; ;