ВМ КР1-2 В9
.docПосле преобразования выражения получим
,
Получим уравнение эллипса
Контрольная работа № 2.
Введение в математический анализ
Задачи 76–80
Построить график
функции
преобразование графика функции
.
Задача 79: 
.
Решение.
Задачи 81–90
Задана функция
на отрезке
.
Требуется: 1) построить
график функции в полярной системе
координат по точкам, давая аргументу
значения через промежуток
;
2) найти каноническое
уравнение полученной линии в прямоугольной
декартовой системе координат, начало
которой совпадает с полюсом, а положительная
полуось абсцисс – с полярной осью, и по
уравнению определить тип линии.
Задача 99:
.
Решение
Составим таблицу значений:
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
<0 |
<0 |
<0 |
25,57 |
6 |
3.4 |
2.49 |
2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2.11 |
2.49 |
3.4 |
6. |
25.57 |
<0 |
<0 |
<0 |
Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:
2. Подставляя
и
в уравнение заданной линии, получим
,
,
,
,
,
,
,
.
Полученное уравнение
есть уравнение ветви гиперболы с
полуосями
с центром в точке (4, 0).
Задачи 91–100
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Задачи 99
Решение.
а)
=
=
=
=
=
=
=
.
б)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
в)
=
=
=
=
=
=
.
г)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Задачи 101–110
Задача 109
Заданы функция
и два значения аргумента
и
.
Требуется: 1) установить является ли
заданная функция непрерывной или
разрывной для каждого из заданных
значений; 2) в случае разрыва найти
пределы при приближении к точке слева
и справа; 3) сделать схематический чертеж.
Решение.
Найдем область
определения функции:
.
Функция неопределенна при
.
Чтобы определить является ли функция непрерывной в заданной точке, воспользуемся критерием непрерывности функции. Для этого для каждой точки найдем односторонние пределы.
Для точки
;
;
.
Согласно
критерия т.к.
,
то функция непрерывна в точке
.
Для точки
;
.
Согласно
критерия т.к.
,
то функция имеет в точке
разрыв второго рода.
Сделаем схематический чертеж функции.
Задачи 111–120
Задана функция
различными аналитическими выражениями
для различных интервалов изменения
аргумента. Найти точки разрыва функции,
если они существуют, и установить их
тип. Сделать чертёж.
Задача 119: 
Решение.
Очевидно, что
и
являются точками, подозрительными на
разрыв, так как функция в них не определена.
В остальных точках функция непрерывна,
так как на каждом из интервалов
,
,
она определена и является элементарной.
Вычислим односторонние
пределы
в подозрительных точках:
, 
, 
Поскольку
а функция в точке
определена, то при
функция непрерывна.
Функция в точке
точка разрыва второго рода.
Построим график с учетом проведенного исследования.
