ВМ Контрольна 2 вариант 8
.docБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
Факультет заочного и дистанционного обучения
Контрольная работа №2
по математике
58. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления.
-
Для решения системы методом Гаусса составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:
-х3 = 13 -5х2+2х3 = -6 х1+х2-х3 = 1
х3 = -13 х2 = = -4 х1=1-х2+х3=-8
-
=> воспользуемся формулой Х = А-1·В
где , а - алгебраические дополнения элементов матрицы А:
68. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Составим основную матрицу и определим ее ранг:
=> rA=2
Т.к. rA=2 меньше количества неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы n-r = 2. Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид:
Общее решение в векторном виде:
х3 и х4 – произвольные числа. Вектор-столбцы и образуют базис пространства решений данной системы.
При х3=С1 и х4=С2, общее решение в векторном виде.
78. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через
Первое линейное преобразование имеет матрицу , второе имеет матрицу . Тогда последовательное выполнение линейных преобразований имеет матрицу , т.е.
Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид
88. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Составляем характеристическое уравнение матрицы:
=(-3-λ)(5- λ)(1- λ)-[-4(-3- λ)]= λ3-3 λ2-9 λ+27=0
(λ+3)( λ-3)2=0 => λ1=3, λ2=-3
При λ1=3 система имеет вид:
Таким образом, числу λ1=3 соответствует собственный вектор:
,
где х3 – произвольное действительное число. В частности при х3=1 имеем .
При λ2=-3 система имеет вид:
Таким образом, числу λ2=-3 соответствует собственный вектор:
,
где х1 – произвольное действительное число. В частности при х1=1 имеем .
98. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка (1), используя теорию квадратичных форм.
Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с матрицей . Решаем характеристическое уравнение:
т.е.
(9-λ)(2- λ)-8=0
λ2-11λ+10=0
(λ-10)( λ-1)=0
λ1=1; λ2=10
Координаты собственных векторов:
Полагая, что m1=1; получим n1=.
Полагая, что m2=1; получим n2= .
Собственные векторы:
Координаты единичного вектора нового базиса:
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
Подставив полученные выражения в исходное уравнение получаем:
х’2+10y’2=20
Последнее уравнение есть уравнение эллипса.