2. Введение в анализ

72. Построить график функции преобразованием графика функцииy=sinx.

Записав данную функцию в виде замечаем, что у неё А=-3,.

1. Строим одну волну синусоиды и отмечаем на ней несколько точек.

2. Увеличивая в три раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы, затем, отображая полученную линию зеркально относительно оси ОХ, графика y=sinx, строим график функции y=-3sinx.

3. Увеличивая в 2 раза абсциссы точек графика функции y=-3sinx и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции .

4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 3/2 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции .

y=sinx

y=-3sinx

82. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1)

φ	r
0	1,2
π/8	1,237685273
π/4	1,359245518
3π/8	1,593470229
π/2	2
5π/8	2,685004489
3π/4	3,783611625
7π/8	5,207244265
π	6
9π/8	5,207244265
5π/4	3,783611625
11π/8	2,685004489
3π/2	2
13π/8	1,593470229
7π/4	1,359245518
15π/8	1,237685273
2π	1,2

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат

Подставим это значение в уравнение линии:

Это уравнение данной линии в декартовой системе координат.

Эта линия является эллипсом, с центром в точке (,0).

92. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а)

б)

в)

г)

102. Дана функция и два значения аргумента х₁=2, х₂=4. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;4),(4;+∞).

Исследуем поведение функции в точках х₁=2, х₂=4. Найдём односторонние пределы.

При х=2 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=4 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках функция разрывна.

112. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0), [0,4],(4;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=4. Найдём односторонние пределы.

При х=4 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=0 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=0 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 1+3=4.

График этой функции: