BM Контрольная работа №3. Вариант №8
.doc
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет НиДО
Специальность ПОИТ
Контрольная работа № 3
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант № 8
Выполнил студент: ******
группа ******
Зачетная книжка № ******-28
Электронный адрес ******@****.***
Минск 2010
Задача 108
Построить график функции преобразованием графика функции
Решение:
1) Чтобы построить преобразованием , приведем к виду :
2) Строим график функции
3) Строим график функции сдвинув график вдоль оси ОХ в отрицательном направлении на :
4) Строим график функции сжатием графика в 3 раза к оси ОY:
5) Строим график функции растягиванием графика в 2 раза от оси ОY:
6) Строим график функции сжатием графика в 5 раз к оси ОX:
7) Строим график функции растягиванием графика в 6 раз от оси ОX:
8) Строим график функции симметрично отразив график относительно оси ОX:
Задача 118
Дана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток , начиная от ; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение:
1) Построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток .
Составим таблицу значений аргумента и функции:
1 |
1,026 |
1,108 |
1,259 |
1,5 |
1,855 |
2,32 |
2,788 |
3 |
2,788 |
2,32 |
1,855 |
1,5 |
1,259 |
1,108 |
1,026 |
1 |
Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы . Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:
2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Подставляя и в уравнение, имеем:
Полученное уравнение – это каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями , .
Задача 128
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
а) б)
в) г)
Решение:
а)
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . Получим
так как при функции , и – бесконечно малые функции.
б)
Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, т.е. имеем неопределенность . Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на:
в)
Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, т.е. имеем неопределенность . Используя формулы , и получим:
г)
Подстановка приводит к неопределенности . Сделаем замену переменной , принимая во внимание, что . Тогда
– второй замечательный предел.
Задача 138
Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
, , .
Решение:
1) , следовательно в точке непрерывна.
, следовательно точка разрыва, так как в этой точке не определена.
2) Определим вид точки разрыва, для чего вычислим односторонние пределы:
, так как при
, так как при
– точка разрыва второго рода
3)
Задача 148
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение:
непрерывна на интервале
непрерывна на интервале
непрерывна на интервале
и – подозрительные точки
Вычислим односторонние пределы в подозрительных точках:
В точке – непрерывна, так как существуют правый и левый пределы, они равны и равны значению функции в этой точке;
Так как существуют правый и левый пределы, но они не равны, то точка разрыва первого рода (конечного скачка)