Контрольная работа №3 Введение в математический анализ

Задачи 81-90.Требуется: 1) выполнить действия над комплексными числами, записав результат в показательной форме; 2) найти все корни уравнения.

89.1) ; 2) .

Решение:

1) Представим два комплексных числа в тригонометрической форме (- 3 +i) и (1-i).

Для первого числа:

r₁= (- 3 )²+1² = 2

Cos u₁=- 3 / 2, Sin u₁=1 / 2 => u=5п / 6

(- 3 +i)=2(Cos 5п/6 + i Sin 5п/6)

Для второго числа:

r₂= 1²+(-1)²= 2

Cos u₂=1 / 2 = 2 / 2, Sin u₂ = -1 / 2 = - 2 / 2 => u₁= - п / 4

1-i= 2 (Cos(- п / 4)+i Sin(- п / 4))

Если z₁=r₁(Cosu₁+i Sin u₁) z₂=r₂(Cos u₂+i Sin u₂)

z₁z₂=r₁r₂(Cos(u₁+u₂)+i Sin(u₁+u₂)) z₁ / z₂=r₁ / r₂ (Cos (u₁-u₂)+i(Sin(u₁-u₂)) )

(- 3 + i)(Cos п/12-i Sin п/12) = 2(Cos 5п/6+i Sin 5п/6)(Cos(-п/12)+i Sin(-п/12)) = 2(Cos(5п/6 – п/12)+i Sin(5п/6- -п/12)) = 2(Cos 3п/4+i Sin 3п/4)

(- 3 + i)(Cos п/12 - i Sin п/12) / (1-i) = 2(Cos 3п/4+i Sin 3п/4) / 2 (Cos(-п/4)+i Sin(-п/4)) = 2 / 2 (Cos(3п/4- -(-п/4))+i Sin(3п/4-(-п/4)) ) = 2(Cos п+i Sin п) = - 2

r= 2 , Cos u = -1, Sin u=0 => u=п

- 2 = 2 e^{i п}

2)Основа формулы z₃+pz+q=0, по ней расчітаем формулу z=u+v,где u=q² / 4 +p³ / 27;v=q² / 4 +p³ / 27

Составим вырожение q²/4 +p³/27 = (-9)²/4 + (-6)³ / 27 = 81 / 4 – 8 = 49 / 4 Находимuиv:

u₁= v₁=

Следовательно u₁=2,v₁=1, равенство 3uv+p=0 выполняется по формулам:

z₁=u₁+v₁,z₂=u₁e+v₁e²,z₃=u₁e²+v₁eучитывая, что

e=-1/2+i 3 / 2, e²=-1/2-i 3 / 2 находим

z₁=2+1=3

z₂=2(-1/2+i 3 / 2)+1(-1/2-i 3 / 2)=-3/2+i 3 / 2

z₃=2(-1/2 -i 3 / 2)+1(-1/2+i 3 / 2)=-3/2-i 3 / 2

Задачи 91-100. Построить график функцииy=F(x), используя преобразования графика известной функцииf(x).

99. F(x)=,f(x)=.

Решение:

Построим график функций f(x)=Sinx.

График функцийf(x)=Sin( )получим из графика функций f(x)-Sinxпутём его растягивания вдоль оси 0xвдвараза. График функцийf(x)=Sin( -1)=Sin( ) получим использую график функцийf(x)=Sin( ) путём его смещения вдоль оси Ох на 2 единицы вправо.

Наконец график функций F(x)=-Sin( - 1)получим используя график f(x)=Sin( -1), принимая во внимание то, что они симметричны относительно оси Ох.

Задачи 101-110.Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

109.1); 2); 3);

4) ; 5); 6).

Решение:

1)= (-6)²+2(-6)-24/ 2(-6)³+15(-6)+18 = 0 / -504 = 0

2)

3)

4)

5)

6)

Задачи 111-120.Исследовать функциюf(x) на непрерывность и построить ее график.

119.f(x)=

Решение:

Поскольку f(x) задана тремя непрерывными элементарными функциями, то точками разрыва данной функции могут быть лишь точкиx₁=0 иx₂=п. Проверим в этих точках выполнение условий.

1)

Итак, в точке x₁=0,следовательно, точка x₁=0 – это точка разрыва функцииf(x). Поскольку односторонние пределы в этой точке конечны, то это точка разрыва первого рода.

2)

Итак, в точке x₂=п , следовательно, точкаx₂=п – это точка разрыва первого рода функции f(x).

Построим график функций.

Литература.

1. А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бручиков – Справочник по высшей математике (ТетраСистемс, 2007).

2. Г.И. Запорожсец – Руководство к решению задач по математическому анализу (Высшая школа, 1966).

3. В.А. Кудрявцев – Краткий курс высшей математики (Наука, 1989).