Контрольная №1

Задача 3. Даны четыре вектора (а₁, а₂, а₃), (b₁, b₂, b₃), (c₁, c₂, c₃) и (d₁, d₂, d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

(-2,3,5), (1,-3,4), (7,8,-1), (1,20,1).

Решение. Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю. Итак, находим

Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде и найдем .Определитель Δ найден выше и Δ = 290.

, ,

Имеем .

Значит .

Задача 13. Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертёж.

А₁(3,5,4), А₂(5,8,3), А₃(1,9,9), А₄(6,4,8).

Решение. 1. Находим координаты вектора и длину ребра по формуле (1.2).

2. Угол  между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения. , ;. Поэтому

3. Угол  между ребром и плоскостью - это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и (1.3):

. (Здесь Как и в предыдущем пункте, находим

4. Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения

.

5. Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов,, (формула 1.4).

.

6. Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой (1.7), где - координаты точки, - координаты точки.

.

В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде

или, т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.

7. Для составления уравнения плоскостивоспользуемся формулой (1.6), где - координаты, - координаты,- координаты.

8. Искомые уравнения высоты получим из канонических уравнений прямой , где - точка, лежащая на искомой прямой;

- координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку, а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .

9. Сделаем чертеж

A₁

A₃

A₂

A₄

x

0

Задача 23. Найти координаты точки, симметричной точке A(2,-4) относительно прямой 4x+3y+1=0.

Решение. Нетрудно проверить, что координаты точки А не удовлетворяют уравнению прямой, т.е. .

Составим уравнение прямой перпендикулярной прямой 4x+3y+1=0, проходящей через точку A. Запишем уравнение прямой в виде :

. Из условия перпендикулярности прямых , уравнение прямой проходящей через точку A(2;4) и перпендикулярной прямой 4x+3x+1=0 будет иметь вид:

или 3x-4y-22=0.

Найдем координаты точки N (точки пересечения прямых 4x+3y+1=0 и 3x-4y-22=0).

.

Найдем координаты точки A₁(x,y), зная координаты А (2,-4) и середину отрезка AA₁, т.е. точку N(2,48;-3,64):

.

Задача 33. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.

Решение. Чтобы решить неравенство , рассмотрим прямую . Она проходит через две точки и . При

B(5;12)

A(13;10)

C(8;5)

неравенство является верным. Следовательно, ему удовлетворяют все точки, лежащие ниже прямой и на прямой. Для решения второго неравенства строим прямую , проходящую через точки и . Точка удовлетворяет неравенству , следовательно, ему удовлетворяют все точки, лежащие ниже прямой и на этой прямой. Находим точку А пересечения прямых и , решая систему

.

Наконец, решаем неравенство . Для этого строим прямую , проходящую через точки и . Точка (0;0) не удовлетворяет этому неравенству , поэтому его решением является множество точек плоскости выше прямой и на самой прямой.

Решая системы уравнений

и , находим координаты точек и . Данной системе неравенств удовлетворяют все точки внутри треугольника АВС и на его границе.

Задача 43. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой 3x+16=0 равно 0,6.

Решение. Обозначим произвольную точку искомой линии . Тогда по условию , где Р - основание перпендикуляра из точки М к прямой . Но ;

. Значит, . Возводя в квадрат, получаем . Это каноническое уравнение эллипса с полуосями с центром (3;0).