- •Алгебра
- •График учебного процесса
- •III семестр
- •IV семестр
- •1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
- •2. Технологическая карта дисциплины
- •3. Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
- •Литература для самостоятельной работы
- •4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
- •5. Методические рекомендации преподавателю
- •6. Работа с ресурсами Internet
- •7. Материальное обеспечение дисциплины
- •8. Методическое обеспечение дисциплины:
- •Глоссарий
- •Вопросы, выносимые на экзамены
- •III семестр
- •IV семестр
- •Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
- •Контрольно - измерительные материалы
- •III семестр Модуль 1
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
- •IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
- •Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
- •Методические указания по подготовке практических занятий
- •Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
- •Темы курсовых работ
- •1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
- •. Программа итоговой государственной аттестации студентов
- •Группы и подгруппы
- •Группа подстановок
- •Подгруппы
- •Циклические группы
- •Разложение группы по подгруппе
- •6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Нормальные делители. Фактор - группы.
- •1. Нормальные делители
- •2. Фактор – группы
- •Гомоморфизмы групп
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Элементарные сведения о кольцах
- •Кольцо с единицей
- •Делители нуля. Область целостности
- •Поле частных
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Гомоморфизмы колец
- •Понятие идеала. Примеры
- •Операции над идеалами
- •Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
- •Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
- •Характеристика кольца с единицей
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Делимость в области целостности
- •2. Кольцо главных идеалов
- •Евклидовы кольца.
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Многочлены над полем
- •2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
- •3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
- •4. Теорема Безу
- •5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •6.Наименьшее общее кратное
- •7. Неприводимые многочлены
- •8. Каноническое разложение многочлена
- •9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Комплексных чисел
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
- •5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •IV семестр
- •Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
- •Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
- •Понятие алгебраического числа
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с
- •5. Разложение многочленов над полем r
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Алгебраические числа.
- •2. Простое алгебраическое расширение поля.
- •3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
- •4. Конечные расширения полей.
- •6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
- •Лекции 7-8
- •Поле алгебраических чисел
- •Понятие разрешимости в квадратных радикалах
- •Определение 1. Алгебраическое уравнение
- •Связь с расширением числовых полей
- •4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
- •5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
- •6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
- •Задача об удвоении куба
- •Задача о трисекции угла
- •Задача о квадратуре круга
- •7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
Понятие разрешимости в квадратных радикалах
Не каждое алгебраическое уравнение можно решить в радикалах, т.е. выразить все его корни через коэффициенты с помощью конечной последовательности действий сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня с целым показателем степени. В частности, уравнение n-ой степени с произвольными буквенными коэффициентами при n5 нельзя решить в радикалах, как установлено теоремой Руффини-Абеля.
Вместе с тем существуют отдельные классы уравнений высших степеней, которые можно решить в радикалах. Общее исследование проблем разрешимости алгебраических уравнений в радикалах является предметом важной области общей алгебры - так называемой теории Галуа (Э. Галуа ,(1811-1832)- выдающийся французский математик). Изложение этой теории выходит за пределы нашего курса. Однако один из вопросов теории разрешимости уравнений в радикалах мы в элементарной форме рассмотрим, т.к. он имеет особенное значение для курса школьной математики. Речь пойдет о разрешимости алгебраических уравнений в квадратных радикалах. Именно к этому вопросу сводится проблема разрешимости геометрических задач на построение циркулем и линейкой, в том числе широко известных классических задач: удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга и др.
Определение 1. Алгебраическое уравнение
f(x)= (2)
называется разрешимым в квадратных радикалах, если каждый из его корней можно представить через коэффициент (ί= 0,1,…,n) с помощью конечной последовательности действий сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.
Примеры: 1. Любое линейное уравнение ax+b=0 (3) разрешимо в квадратных радикалах, т.к. его корень x= выражается через коэффициенты с помощью названных выше операций.
2. Любое квадратное уравнение ax²+bx+c=0 разрешимо в квадратных радикалах, т.к. его корни
= , =
Очевидно, что выполнение рациональных операций равносильно решению линейного уравнения ax+b=0, а извлечение квадратного корня – решению двучленного уравнения x²-a=0. Поэтому возможность решения некоторого уравнения в квадратных радикалах означает, что его можно свести к конечной цепи двучленных уравнений, степень которых не выше двух, а коэффициенты рационально выражаются через коэффициенты заданного уравнения и корни промежуточных уравнений цепи.
Связь с расширением числовых полей
Вопрос разрешимости в квадратных радикалах тесно связан с алгебраическими расширениями числовых полей.
Пусть f(x)- левая часть уравнения (2)- есть многочлен над полем P. Поэтому будем считать, что P является минимальным числовым полем, которое содержит коэффициенты многочлена f(x),т.е. P=Q( ),т.к. всякое поле содержит поле Q рациональных чисел.
Определение 2. Основным полем P(или областью рациональности) уравнения =0 называется алгебраическое расширение Q( ) поля Q, образованное присоединением к нему коэффициентов данного уравнения.
Лемма. Для того чтобы уравнение (2) было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо и достаточно, чтобы каждый из его корней можно было выразить в квадратных радикалах через некоторые числа поля P.
Доказательство: В соответствии с определением 1, уравнение (2) разрешимо в квадратных радикалах, если каждый его корень выражается в квадратных радикалах через его коэффициенты. Поэтому доказательство леммы сводится к проверке того, что некоторое число ξ выражается в квадратных радикалах через коэффициенты уравнения (2) тогда и только тогда, когда оно выражается в квадратных радикалах через некоторые числа основного поля уравнения (2).
Если число ξ выражается в квадратных радикалах через коэффициенты (i= 0,1,…,n) уравнения, то тем самым оно выражается в квадратных радикалах через числа поля P=Q( ), ибо всех .
Пусть теперь, наоборот, число выражается в квадрвтных радикалах через числа поля .Каждое из чисел в свою очередь выражается рационально через некоторые рациональные числа и коэффициенты (i= 0,1,…,n) данного уравнения. Но любое рациональное число также выражается рационально через коэффициенты (i=0,1,…,n). Действительно, среди последних есть хотя бы одно число, отличное от нуля, например, 0; поэтому числа 0,1, -1, рационально выражаются через :
0= - ; 1= ; -1=-
А произвольное число рационально выражается через 0,1,-1;
= при > 0 и = при < 0
Следовательно, каждое (i= 1,…m),а поэтому и рационально выражаются через коэффициенты .
Теперь ясно, что разрешимость уравнения в квадратных радикалах означает возможность выразить все его корни в квадратных радикалах через числа основного поля .
С другой стороны, очевидно, что возможность выразить некоторое число в квадратных радикалах через числа поля означает возможность выразить все числа поля в квадратных радикалах через числа поля .
Определение 3. Если - основное поле уравнения =0,а - корни этого уравнения, то поле =( ), образованное присоединением к всех корней (i=1,2,…,n) называется нормальным полем (нормою) или полем разложения данного уравнения.
Теорема 3. Для того,чтобы уравнение (2) было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо и достаточно, чтобы любое число его нормального поля выражалось в квадратных радикалах через числа основного поля .
Доказательство: Если произвольное число из поля =( ) выражается в квадратных радикалах через числа поля , то, в частности, и корни уравнения выражаются в квадратных радикалах через числа поля , т.е. уравнение решается в квадратных радикалах. Наоборот, если выражаются в квадратных радикалах через числа поля ,то все числа полей ( ), выражаются в квадратных радикалах через числа поля .
Следствие. Если - квадратичное расширение поля , то всякое число выражается в квадратных радикалах через числа поля .
Доказательство: По определению квадратичного расширения =( ), где – корень некоторого квадратного уравнения ax²+bx+c=0,коэффициенты которого принадлежат P, а корни и не принадлежат. Очевидно , т.к. , поэтому есть норма данного квадратного уравнения.
Таким образом, вопрос о разрешимости алгебраического уравнения в квадратных радикалах свелся к вопросу о возможности выразить все числа некоторого поля в квадратных радикалах через числа подполя .