- •2.Непрерывные случайные величины – основные определения. Основные свойства плотности распределения.
- •Свойства плотности распределения:
- •Формула умножения вероятностей
- •Свойства условного математического ожидания.
- •Свойства совместной плотности распределения:
- •2. Случайная величина. Функция распределения св, основные её свойства.
- •Основные свойства функции распределения.
- •Свойства условного математического ожидания.
- •Формула умножения вероятностей
- •Свойства плотности распределения:
- •3.Матеметическое ожидание св, его свойства.
- •Свойства плотности распределения:
- •Формула умножения вероятностей
- •Свойства условного математического ожидания.
- •2. Нормальное распределение (в том числе и многомерное): определение, обозначение, , характеристическая функция
- •2.Непрерывные случайные величины – основные определения. Основные свойства плотности распределения.
- •1. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы непрерывности.
Формула умножения вероятностей
События А и В называются независимыми, если Свойства независимых событий
1. или
2. Если события А и В независимы, то независимы события А и , и В, и .
. ; .
3. Если события А и , А и независимы и , то независимы и события А и .
4. Если события независимы в совокупности, то
События называются независимыми в совокупности, если для всех k=2,…,n, , то есть , ; , и т.д.
5. Пусть - независимые в совокупности события и .
и события , k=1,…,n, независимы в совокупности (свойство 2 независимых событий). Тогда по формуле (1.6) имеем .
формула вероятности суммы независимых в совокупности событий.
2.Непрерывные случайные величины – основные определения. Основные свойства плотности распределения.
Функция , такая что (предполагается, что интеграл сходится). называются плотностью распределения случайной величины .
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, функция распределения которой F(x) представима в виде интеграла .
На практике функция плотности распределения является непрерывной почти всюду на области определения, потому почти всюду справедливо равенство
Для непрерывных случайных величин плотность распределения – основная характеристика случайной величины, она определяет закон распределения случайной величины.
Свойства плотности распределения:
1. . что функция распределения F(x) – неубывающая функция.
2. По определению
3. .
3. Ковариация случайных величин, её свойства.
Ковариацией с. величин и называют математическое ожидание произведения центрированных с. величин и :
cov( ,)=
Если cov(,)=0, то с. величины ξ и η называются некоррелированными.
Если ξ и η двумерные с. величины, то cov( ,) определяется по формуле:
cov(,)= .
Ковариация с. величин обладает следующими свойствами:
1. cov (,) = D cov (,) = M( - M)2 = D
2. Если и независимы, то cov(,) = 0.
cov(,) = M( - M)( - M) = M( - M)M( - M)=0
3.Пусть .Тогда
ξ и η двумерные с. величины, то есть , при этом , где - неслучайные матрицы порядка 2×2, - двумерные неслучайные векторы, тогда .
4. . Рассмотрим с. величину = x - , x – произвольное число.
.
ξ и η – двумерные с. величины, то и Dξ= tr coν(ξ,ξ), Dη= tr coν(η,η).
5. .
Билет14
1. Геометрическая вероятность: определение, примеры, свойства.
1. Множество Ω рассматривается как некоторое непрерывное ограниченное множество с бесконечным числом элементов, например, отрезок, многоугольник, шар и т.д. (вид множества определяется условиями задачи);
2. Опыт состоит в бросании идеальной точки (не имеет ни размера, ни веса) в это множество Ω;
3. Вероятность попадания ее в какую-нибудь область А Ω пропорциональна мере этой области μ(А).
Тогда вероятность наступления события А определяется как:
Р(А)= μ(А)/μ(Ω)
2. Дискретные случайные величины определение, ряд распределения, функция распределения, примеры.
Случайная величина называется дискретной, если она каждому элементарному исходу ставит в соответствие одно число из конечного или счётного множества чисел , причём вероятность события Набор вероятностей называют рядом распределения с. величины.
Если при описании случайной величины применяют какую-нибудь другую её характеристику вместо функции распределения и при этом по характеристике возможно однозначно восстановить функцию распределения, то такая характеристика называется законом распределения случайной величины или просто распределением случайной величины.
, где , если и , если .
Постоянная величина С. Она принимает единственное значение с вероятностью, равной единице.
Индикатор события А.
- дискретное вероятностное пространство и –с. величина, принимающая значения . , то , где множества образуют разбиение пространства – они попарно не пересекаются и их сумма равна . Ряд распределения с. величины имеет вид:
-
0
1
P
3. Производящие функции: определение, основные свойства. Примеры
Производящей функцией для дискретно распределенной с. величины ξ называется функция
1. Если производящие функции двух с. величин совпадают, то совпадают и распределения этих с. величин.
2. .
3. Если ξ и η – независимые с. величины, то производящая функция произведения этих с. величин равна произведению производящих функций сомножителей.
Действительно, . Далее, .
Билет 15
1.Статическая вероятность событий. Теореме Бернулли.
В основе статистического определения вероятности лежит опытный факт – так называемая устойчивость частот.
частота осуществления какого-либо исхода в последовательности экспериментов, проводимых в одинаковых условиях, приближается к некоторому числу p [0,1].
каково бы ни было ε > 0 с ростом n вероятность того, что частота события отличается от некоторого постоянного числа p [0,1] не более чем на ε, стремится к 1.
Относительной частотой события А назовем отношение числа опытов, в которых событие А произошло, к числу проведенных опытов: Вероятность события А приближенно равна относительной частоте этого события. Чем больше число n, тем точнее равенство: P(A) . Это и есть статистическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности является единственным способом приближенного вычисления вероятности.
2. Пуассоновское распределение: определение, обозначение, производящая функция распределения и её использование для нахождения числовых характеристик распределен.
Cлучайная величина распределена по закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые значения с вероятностями
- параметр распределения Пуассона.
Производящей функцией для дискретно распределенной с. величины ξ называется функция
1. Если производящие функции двух с. величин совпадают, то совпадают и распределения этих с. величин.
2. .
3. Если ξ и η – независимые с. величины, то производящая функция произведения этих с. величин равна произведению производящих функций сомножителей.
Действительно, . Далее, .
, .
3.Дисперсия случайной величины, её свойства
Дисперсией с. величины называют число: D=M(-M)2
() =σ = называется средним квадратичным отклонением с. величины ξ.
D =
Свойства дисперсии.
D1. если
D2.
D3. , если величины независимы
, если независимы.
D4.
Следствия. ; ; .
D5.
Билет 16
1.Свойства вероятности.
Р1. .
Р2. . ,
Р3. Если , то .
. Так как , то . Отсюда, .
Следствие. если , то .
Р4. .
Р5. - формула вероятности суммы событий.
,
и или .
Р6. .
Р7. .
Если же , тогда .
Р8. . События несовместны при ; , равенство имеет место, если . Тогда .
Р9. Если монотонная последовательность событий и , если , ; , если , , то .
вероятностей: .
2. Экспоненциальное распределение: определение, обозначение. Производящая функция распределения, её использование для вычисления числовых характеристик.
– параметр распределения
Экспоненциально распределенная случайная величина обладает свойством - отсутствием последствия.
если непрерывная случайная величина обладает этим свойством, то вероятность попадания в любой интервал длины не зависит от того, где на числовой прямой расположено начало интервала, эта вероятность зависит только от длины интервала.
Производящей функцией для дискретно распределенной с. величины ξ называется функция .
свойства производящих функций:
1. Если производящие функции двух с. величин совпадают, то совпадают и распределения этих с. величин.
2. .
3. Если ξ и η – независимые с. величины, то производящая функция произведения этих с. величин равна произведению производящих функций сомножителей.
Ценность производящих функций заключается в связях производных этой функции с математическими ожиданиями и дисперсиями с. величин- свойство 2. Так как , то
3.Моменты св, α-квантиль, мода, медиана.
Начальным моментом порядка c. величины называется число:
При математическое ожидание – начальный момент 1-го порядка.
Центральным моментом порядка c. величины называется число:
При дисперсия с. величины – это центральный момент 2 порядка. Интересно отметить, что
k-й момент с. величины называются абсолютным к-м моментом с. величины ξ.
Между начальными и центральными моментами существуют связывающие их соотношения:
- с. величины с совместной функцией распределения . Величины , называются смешанными моментами величин порядка k.
Центральные смешанные моменты к-го порядка .
Центральные смешанные моменты 2 порядка с. величин ξ и η -
Медиана с.величины определяется из соотношения . это любое решение уравнения . Поскольку решение этого уравнения не единственно, то медиана с. величины определяется неоднозначно.
Модой непрерывной с величины называют точку локального максимума плотности распределения f(x).
Модой дискретной с. величины называют такое её значение , для которого и , при этом все её значения должны быть расположены в порядке возрастания.
-квантилью с. величины называется число, удовлетворяющее уравнениям: ( ).
Билет17
1. Условная вероятность Показать, что условная вероятность удовлетворяет аксиомам вероятности. Формула умножения вероятностей.
Вероятность события А при условии, что в опыте произошло событие В, называют условной вероятностью.
– вероятностное пространство. Если , , то число называют условной вероятностью события А при условии В.
При фиксированном событии , Р(А/В) является функцией событий .
1) - следует из определения. 2) , так как . 3) Пусть последовательность попарно несовместных событий. Тогда .
Если исходная вероятностная мера задана на измеримом пространстве , то условная вероятностная мера задана на измеримом пространстве , где - σ-алгебра ω-множеств вида , .
формула умножения вероятностей
2. Случайная величина. Функция распределения св, основные её свойства.
– вероятностное пространство. Случайной величиной называется измеримая функция , ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число . Функцией распределения случайной величины называется функция , значение которой в точке x равно вероятности события , то есть
Основные свойства функции распределения.
F1. поскольку F(x) – вероятность.
F2. F(x) – неубывающая функция, то есть если , то .
событие входит в событие при условии . Тогда или .
F3.
Событие - невозможное событие, поэтому .
Событие - достоверное событие, поэтому .
F4. F(x) – непрерывная слева функция в каждой точке х.
возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . События и . , последовательность монотонная и ее предел . .
F5. .
объединение двух несовместных событий и . Из следует .
F6. .
По определению , где – убывающая последовательность, . Поскольку , согласно свойству непрерывности вероятности F7. .
Так как и , то .
На основании свойств F1-F7 могут быть получены важные для практических целей результаты, а именно:
(2.2)
Так как