4.4. Оптимальное значение параметра системы управления

Оптимальное значение параметра выбирается в диапазоне устойчивости с учётом расчётов, сделанных в п. 4.2. и.п. 4.3.

В данном задании не оговаривается, что является более важным – качество системы в переходном или установившемся режиме. Поэтому оптимизация проводится из условия равноценности качества в обоих режимах.

Вводится условный суммарный показатель качества, являющийся суммой двух оценок – интегральной квадратичной оценки и установившейся ошибки.

Суммарная оценка качества работы системы управления:

(60)

Графически зависимость (60) качества системы от параметра «k_У» в диапазоне устойчивости (43) выглядит так:

Оптимальное значение параметра для наилучшей работы системы в обоих режимах определяется по графику примерно:

k_У = 0,7 (61)

Если на графике зависимости суммарной оценки от параметра нет минимального экстремума, то оптимальный параметр выбирается по рекомендациям из п. 4.2.

Если диапазон устойчивости задан только одной границей, например от 0 до ∞, и чем больше значение параметра, тем лучше, то допускается принять произвольное значение параметра, такое как в других вариантах этого же задания.

При оптимальном значении параметра (61) интегральная квадратичная оценка (48) равна:

(62)

А установившаяся ошибка (58) равна:

(63)

Данную задачу оптимизации можно решить не только графически, как показано выше, но и более точно аналитически. Для этого определяется производная суммарной оценки (60) и приравнивается к нулю. Полученное уравнение решается относительно параметра «k_У». Корень этого уравнения, попадающий в диапазон устойчивости, и будет экстремумом функции. Если этот экстремум – минимум функции, то найденный корень и есть оптимальное значение параметра «k_У».

5. Частотный анализ системы управления

Частотный анализ подразумевает расчёт и построение частотных характеристик АФЧХ, АЧХ и ФЧХ, а также моделирование установившегося частотного режима работы системы управления.

Понятие частотных характеристик и метод их расчёта приведён в приложении 7.

5.1. Частотная передаточная функция

Частотная передаточная функция получается из передаточной функции для выходного сигнала (17):

(64)

После преобразований и с учетом выражений для коэффициентов (18) – (22) и оптимального значения параметра системы (61) получаются вещественная и мнимая составляющие комплексной частотной передаточной функции:

(65)

(66)

5.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Пример построения графика АФЧХ в пакете MathCAD приведён в приложении 8.

Диапазон частот выбирается как можно меньшим, для завершения построения линии графика – приближения её к началу координат.

График АФЧХ для данной системы построен в диапазоне частот от 0 до 3 рад/с.

5.3. Амплитудно-частотная характеристика

АЧХ определяется вещественной и мнимой составляющими АФЧХ по формуле:

(67)

График АЧХ построен в диапазоне частот от 0 до 1.2 рад/с.

Диапазон частот выбирается как можно меньшим, немногим более полосы пропускания, для наглядного отображения пика на резонансной частоте.

По этому графику примерно находятся следующие показатели:

Резонансная частота: (68)

Частота среза: (69)

Полоса пропускания: (70)

Колебательность: (71)

5.4. Фазово-частотная характеристика

ФЧХ определяется вещественной и мнимой составляющими АФЧХ по такой формуле:

(72)

В MathCAD и Excel функция «arctg(I()/R())» может быть задана двумя способами:

• atan(I()/R()), возвращает угол от - / 2 до  / 2;

• atan2(R(),I()), возвращает угол от - до .

Рекомендуется использовать вторую функцию.

График ФЧХ строится в диапазоне частот от 0 до 1.2 рад/с.

«Излом» графика происходит при достижении функцией «()» значения -. Происходит «скачок» на , с последующим дальнейшим убыванием функции.

5.5. Установившийся частотный режим работы системы управления

Входной частотный сигнал задается функцией вида

(73)

Примем такие его параметры:

Амплитуда входного сигнала: (74)

Фаза входного сигнала: (75)

Эти значения могут быть произвольными, но для простоты рекомендуется их принять такими.

Частота сигнала соответствует резонансной частоте:

(76)

Частота может быть любая из полосы пропускания, но если есть резонансная, рекомендуется принять её.

С учётом принятых параметров:

(77)

Выходной сигнал определяется функцией вида:

(78)

Его параметры определяются частотными характеристиками системы:

АЧХ при резонансной частоте имеет максимум и примерно равна:

(79)

Эта цифра показывает, во сколько раз амплитуда на выходе больше чем на входе, значит:

Амплитуда выходного сигнала:

(80)

ФЧХ при резонансной частоте примерно равна:

(81)

Эта цифра показывает, на сколько фаза на выходе сдвинута по отношению к фазе на входе, значит:

Фаза выходного сигнала:

(82)

С учётом вычисленных параметров:

(83)

График установившегося частотного режима имеет такой вид:

На графике отображаются входной и выходной частотные сигналы (77) и (83). Для добавления второй функции на график в MathCAD нажмите «,» (запятую) в английском регистре в маркере вертикальной оси – появится второй маркер. Тип и цвет линии графика задаётся в пункте «Формат» контекстного меню графика (правая кнопка мыши) на вкладке «traces».

6. Моделирование работы системы управления

Моделирование проводится в программе VisSim. Приёмы моделирования систем управления в программе VisSim описываются в приложении 9.

1. Переходная характеристика системы управления

Понятие переходной характеристики даётся в конце приложения 1.

Переходная характеристика получена при оптимальном значении параметра .

Время регулирования системы управления примерно составляет .

Установившееся значение управляемого сигнала .

2. Проверка диапазона устойчивости

В вопросе устойчивости система может быть:

• устойчива (переходная характеристика в виде затухающих колебаний как в предыдущем пункте 6.1., или в любом случае выходит на постоянное «горизонтальное» значение);

• неустойчива (раскачивающаяся переходная характеристика в виде «расходящихся» колебаний с резко возрастающей амплитудой, или в любом случае уходит в бесконечность вверх или вниз);

• нейтральна (переходная характеристика в виде «ровных» колебаний с постоянной амплитудой – система не может вернуться в состояние равновесия, но и не уходит в бесконечность. Это наблюдается на границе диапазона устойчивости)

В блоке «Усилитель» значение параметра изменяется с оптимального 0.7 на границу устойчивости 2.5.

При моделировании подтвердилось, что на расчётной границе устойчивости (43) при – система нейтральна.

Это подтверждает правильность найденного диапазона устойчивости (43) в пункте 4.1.