- •Лекция 1 Приближённые методы решения слау
- •В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)
- •Прямой ход.
- •Формулы прямого хода
- •Обратный ход
- •Формулы обратного хода.
- •Интерполяция, аппроксимация.
- •Оценка погрешности:
- •Приближённое интегрирование функций
- •1) Интегрирование по методу прямоугольников.
- •2) Интегрирование по методу трапеций.
- •3) Интегрирование по методу Симпсона.
- •2.1) Отделение корней.
- •Уточнение корней до заданной точности.
- •1) Метод половинного деления (дихотомии).
- •2) Метод хорд.
- •2) Метод Ньютона (касательных).
- •4) Комбинированный метод (хорд и касательных).
- •Постановка задачи.
- •1Ый усовершенствованный метод Эйлера.
- •2Oй усовершенствованный метод Эйлера.
- •С.) Метод Рунге-Кутта. (4го порядка)
- •D). Метод Рунге–Кутта 3-го порядка
- •Многошаговые методы.
Оценка погрешности:
; -n ≤ t ≤ 0; x є [x0;xn], μ=max│f(n+1)(x)│
С.) «МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ»
Перечислим особенности, на которые надо обратить внимание при выполнении задания по этой теме.
Предполагается, что функция задана в виде таблицы конечного числа точек
хi |
х0 |
х1 |
… |
хn |
, |
уi |
y0 |
y1 |
… |
yn |
например, получена экспериментально, где xi, yi (i=1,…,n) – произвольные числа. При этом все
числа xi различны.
Пусть также имеется некоторая функция , определенная для всех значений xi (i=1,…,n).
Определение 3. Число Т, где
, |
(7) |
называется среднеквадратичным (или среднеквадратическим) уклонением функции от заданной .
Наряду с числом Т вводят также вспомогательную величину
. |
(8) |
Функцию стараются подобрать, чтобы число Т получилось достаточно малым.
Можно предложить следующие способы выбора функции .
Способ 1. , (9)
т.е. - многочлен степени m, при этом m<n.
Способ 2. , здесь - сплайн, т.е. кусочно-полиномиальная гладкая функция.
Способ 3. , (10)
т.е. - частичная сумма ряда Фурье, при этом m – четно и m<n.
Перечисленные способы 1-3 задают для вид приближающей функции , которая, в свою очередь, зависит от коэффициентов (или параметров) ai. Лучшим набором коэффициентов ai считается тот, для которого величина w из (8) меньше.
Определение 4. Говорят, что функция найдена для по методу наименьших квадратов (МНК), если она дает минимально возможное значение величины w в соотношении (8).
Примечание. Заметим, что при m=n-1 многочлен , полученный по МНК, совпадает с интерполяционным многочленом и, следовательно, соответствующее среднеквадратичное уклонение (теоретически) равно числу . При использовании в расчетах ЭВМ это уклонение, как правило, получается числом, отличным от нуля.
Рассмотрим в качестве приближающей функции многочлен степени m, который имеет вид
Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов уклонений будет минимальной, т. е.
|
|
Т есть функция коэффициентов . Наряду с функцией Т рассматривают функцию S вида:
|
|
Очевидно, что S и Т достигают своего минимума в одной точке. Далее для отыскания точки минимума будем рассматривать функцию S, поскольку она удобнее для вычислений.
При данной приближающей функции критерий близости, который используется в методе наименьших квадратов, запишется следующим образом:
|
(11) |
|
|
|
|
Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных, получим систему для определения коэффициентов , где :
|
(12) |
То есть:
|
(13) |
Лекция 3